Каково ускорение тела на неподвижном клине с углом α=30° (см. рис.6), если к нему прикреплена нерастяжимая легкая нить

Magicheskiy_Vihr

66

Чтобы найти ускорение тела на неподвижном клине, нам необходимо разбить силы, действующие на тело, на компоненты, параллельные и перпендикулярные поверхности клина.

Давайте рассмотрим компоненты силы тяжести, действующие на тела, для этого нам понадобится угол клина \( \alpha \). Так как коэффициент трения между первым телом и плоскостью равен \( \mu \), мы также должны учесть силу трения.

Начнем с силы тяжести \( F_{\text{тяж}} \), действующей вниз по поверхности клина.
\[ F_{\text{тяж}} = m \cdot g \cdot \sin(\alpha) \]
где \( m \) - масса тела, \( g \) - ускорение свободного падения, \( \alpha \) - угол клина.

Теперь мы можем найти компонент силы тяжести, перпендикулярную поверхности клина:
\[ F_{\text{перп}} = F_{\text{тяж}} \cdot \cos(\alpha) \]

Затем рассмотрим натяжение нити \( T \). Сила натяжения не имеет компонентов, параллельных поверхности клина, так как нить нерастяжима и легка.
\[ T = m \cdot g \]

Теперь учтем силу трения \( F_{\text{трения}} \). Эта сила направлена противоположно движению тела и равна произведению коэффициента трения \( \mu \) на нормальное давление \( N \), где
\[ N = m \cdot g \cdot \cos(\alpha) \]
\[ F_{\text{трения}} = \mu \cdot N \]

Таким образом, общий горизонтальный компонент силы на тело равен
\[ F_{\text{гориз}} = T - F_{\text{трения}} \]

Исходя из второго закона Ньютона, горизонтальная сила равна массе тела, умноженной на его ускорение:
\[ F_{\text{гориз}} = m \cdot a \]

Теперь мы можем приравнять формулы для горизонтальной силы и найти ускорение:
\[ T - F_{\text{трения}} = m \cdot a \]

Вставим вместо \( T \) значение, которое мы нашли выше:
\[ m \cdot g - \mu \cdot N = m \cdot a \]

Заменим \( N \) на значение, которое мы нашли ранее:
\[ m \cdot g - \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos(\alpha) = m \cdot a \]

Теперь решим уравнение относительно ускорения \( a \):
\[ a = g \cdot (1 - \mu \cdot \cos(\alpha)) \]

Вставим значения \( g = 9.8 \ м/с^2 \), \( \mu = 0.1 \) и \( \alpha = 30^\circ \) (в радианах \( \alpha = \frac{\pi}{6} \)):
\[ a = 9.8 \cdot (1 - 0.1 \cdot \cos(\frac{\pi}{6})) \]

Вычислив эту формулу, получим ускорение на неподвижном клине.