Какую частоту имеют колебания в колебательном контуре, если его индуктивность равна 0.1 мГн и емкость конденсатора

Никита

11

Для начала решим задачу о нахождении частоты колебаний в колебательном контуре. Частота колебаний можно найти по формуле:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\]

где \(f\) - частота колебаний, \(L\) - индуктивность контура, \(C\) - емкость конденсатора.

В данной задаче задано, что индуктивность \(L\) равна 0.1 мГн, а емкость \(C\) равна \(N\) мкФ, где \(N=2\) мкФ. Подставим значения:

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.1\cdot2}}\]

\[f = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.2}}\]

Теперь можно посчитать значение частоты колебаний.

Следующая задача связана с определением длины волны в колебательном контуре. Длину волны можно найти по формуле:

\[\lambda = \frac{2\pi}{k}\]

где \(\lambda\) - длина волны, \(k\) - волновое число.

Для колебательного контура волновое число может быть выражено как:

\[k = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]

Подставим значения индуктивности \(L\) и емкости \(C\) в формулу для волнового числа:

\[k = \frac{1}{\sqrt{0.1\cdot2}}\]

\[k = \frac{1}{\sqrt{0.2}}\]

Теперь можно посчитать значение длины волны в колебательном контуре.

Следующая задача связана с нахождением максимальной энергии, запасенной в конденсаторе, если на нем максимальное напряжение равно 100 В. Максимальная энергия в конденсаторе может быть найдена по формуле:

\[E = \frac{1}{2}CV^2\]

где \(E\) - максимальная энергия, \(C\) - емкость конденсатора, \(V\) - максимальное напряжение.

В данной задаче задано, что на конденсаторе максимальное напряжение \(V\) равно 100 В. Подставим значение напряжения в формулу для максимальной энергии:

\[E = \frac{1}{2}\cdot N \cdot (100)^2\]

\[E = \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 10000\]

Теперь можно посчитать значение максимальной энергии, запасенной в конденсаторе.

В задаче о нахождении максимального тока в катушке нам необходимо знать зависимость между напряжением и током в колебательном контуре. Для последовательно соединенных элементов колебательного контура, например, катушки и конденсатора, применяется формула:

\[I = \frac{U}{\sqrt{L^2 + \left(\frac{1}{\omega C}\right)^2}}\]

где \(I\) - максимальный ток в катушке, \(U\) - максимальное напряжение на контуре, \(L\) - индуктивность катушки, \(C\) - емкость конденсатора, \(\omega\) - угловая частота колебаний.

Для нашего случая, индуктивность катушки \(L\) равна 0.1 мГн, емкость конденсатора \(C\) равна \(N\) мкФ, где \(N=2\) мкФ, а максимальное напряжение \(U\) равно 100 В.

Мы также должны учесть, что угловая частота колебаний \(\omega\) связана с частотой колебаний \(f\) следующим образом:

\(\omega = 2\pi f\)

Подставим значения в формулу:

\[I = \frac{100}{\sqrt{0.1^2 + \left(\frac{1}{2\pi\cdot0.1\cdot2}\right)^2}}\]

\[I = \frac{100}{\sqrt{0.01 + \left(\frac{1}{0.628}\right)^2}}\]

Теперь можно посчитать значение максимального тока в катушке.

В последней задаче нам необходимо определить, как изменится период колебаний, если индуктивность увеличить в \(m\) раз, а емкость уменьшить в \(N\) раз.

Период колебаний связан с частотой колебаний следующим образом:

\[T = \frac{1}{f}\]

По условию, индуктивность контура должна быть увеличена в \(m\) раз, а емкость уменьшена в \(N\) раз. Это означает, что новая индуктивность \(L"\) будет равна \(mL\), а новая емкость \(C"\) будет равна \(\frac{C}{N}\).

Соответственно, новая частота \(f"\) будет:

\[f" = \frac{1}{2\pi\sqrt{L"C"}}\]

\[f" = \frac{1}{2\pi\sqrt{mLC/N}}\]

Таким образом, новый период колебаний \(T"\) будет:

\[T" = \frac{1}{f"}\]

\[T" = \frac{1}{\frac{1}{2\pi\sqrt{mLC/N}}}\]

\[T" = 2\pi\sqrt{mLC/N}\]

Теперь можно представить результат в зависимости от \(m\) и \(N\).