Каково время, необходимое для достижения равновесной концентрации эритрола в клетке с объемом 70 мкм3, коэффициентом

Zhuchka

21

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу Фика для процесса диффузии:

\[J = -D \cdot \frac{{dC}}{{dx}}\]

где:
J - молярный поток вещества,
D - коэффициент диффузии,
dC/dx - градиент концентрации.

Нам нужно выразить время (t), поэтому мы должны переписать формулу, используя известные величины:

\[V = A \cdot x\]
\[x = \frac{{V}}{{A}}\]

где:
V - объем клетки,
A - площадь поверхности мембраны,
x - толщина мембраны.

Теперь можно выразить градиент концентрации:

\[\frac{{dC}}{{dx}} = \frac{{C}}{{x}}\]

Подставляя все известные данные в формулу Фика, получаем:

\[J = -D \cdot \frac{{C}}{{x}}\]

Так как C - конечная концентрация вещества, а J - молярный поток, мы можем записать:

\[J = \frac{{\Delta n}}{{\Delta t}}\]

где:
\(\Delta n\) - изменение количества вещества,
\(\Delta t\) - изменение времени.

Теперь мы можем объединить все формулы:

\[\frac{{\Delta n}}{{\Delta t}} = -D \cdot \frac{{C}}{{x}}\]

Так как \(\Delta n = V \cdot C\) и \(\Delta t = t\), получаем:

\[V \cdot \frac{{dC}}{{dt}} = -D \cdot \frac{{C}}{{x}}\]

Разделим обе стороны на \(V \cdot C\):

\[\frac{{1}}{{C}} \cdot \frac{{dC}}{{dt}} = -\frac{{D}}{{x}}\]

Для решения этого уравнения нам необходимо проинтегрировать обе стороны:

\[\int \frac{{1}}{{C}} \, dC = -\frac{{D}}{{x}} \int dt\]

Интегрируя по каждой стороне, получаем:

\[\ln(C) = -\frac{{D}}{{x}} \cdot t + K\]

где K - постоянная интегрирования.

Теперь найдем значение постоянной интегрирования K. Зная начальную концентрацию C0 и начальное время t0, мы можем записать:

\[\ln(C0) = -\frac{{D}}{{x}} \cdot t0 + K\]

Выразим K:

\[K = \ln(C0) + \frac{{D}}{{x}} \cdot t0\]

Подставим это значение обратно в уравнение:

\[\ln(C) = -\frac{{D}}{{x}} \cdot t + \ln(C0) + \frac{{D}}{{x}} \cdot t0\]

Используя свойства логарифма, можно переписать это уравнение как:

\[\ln\left(\frac{{C}}{{C0}}\right) = -\frac{{D}}{{x}} \cdot (t - t0)\]

Теперь можно решить уравнение относительно времени t:

\[t = t0 + \frac{{x}}{{D}} \cdot \ln\left(\frac{{C}}{{C0}}\right)\]

Подставляя известные значения:

\[t = t0 + \frac{{43~мкм^2}}{{13~мкм/с}} \cdot \ln\left(\frac{{C}}{{C0}}\right)\]

Таким образом, для достижения равновесной концентрации эритрола в клетке с объемом 70 мкм3, коэффициентом проницаемости 13 мкм/с и площадью поверхности мембраны клетки 43 мкм2, потребуется время, вычисляемое по формуле:

\[t = t0 + \frac{{43~мкм^2}}{{13~мкм/с}} \cdot \ln\left(\frac{{C}}{{C0}}\right)\]

Где \(C\) - целевая концентрация эритрола, а \(C0\) - начальная концентрация эритрола.