Каково время свободного падения монетки с вершины абсолютно гладкой полусферы радиусом 1,5 м, закрепленной

Винтик

10

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о законах механики и гравитации. Мы начнем с использования закона сохранения механической энергии.

Первым шагом рассмотрим полную механическую энергию монетки в начальном и конечном состояниях. В начальном состоянии монетка находится на вершине абсолютно гладкой полусферы и имеет только потенциальную энергию, которая выражается формулой:

\[E_{нач} = mgh\]

где \(m\) - масса монетки, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота места падения.

В конечном состоянии монетка падает на горизонтальную поверхность полусферы и имеет только кинетическую энергию:

\[E_{кон} = \frac{1}{2}mv^2\]

где \(v\) - скорость монетки перед падением на поверхность.

Так как механическая энергия должна сохраняться, то мы можем записать следующее равенство:

\[E_{нач} = E_{кон}\]

\[mgh = \frac{1}{2}mv^2\]

Сокращая \(m\) с обеих частей уравнения, получаем:

\[gh = \frac{1}{2}v^2\]

Теперь мы можем выразить скорость \(v\). Для этого, воспользуемся еще одним законом механики - законом сохранения энергии.

По закону сохранения энергии, полная механическая энергия сохраняется во всех точках траектории падения монетки. Это означает, что потенциальная энергия в начальной точке должна быть равна сумме потенциальной и кинетической энергии в любой другой точке.

Так как полусфера абсолютно гладкая, потенциальная энергия в любой другой точке будет равна нулю. Тогда мы можем записать:

\[mgh = \frac{1}{2}mv^2\]

\[gh = \frac{1}{2}v^2\]

\[v^2 = 2gh\]

Отсюда получаем выражение для скорости:

\[v = \sqrt{2gh}\]

Теперь, чтобы найти время свободного падения монетки, нам нужно знать, что скорость равна произведению времени падения на ускорение свободного падения:

\[v = gt\]

Сравнивая это выражение с предыдущим, получаем:

\[gt = \sqrt{2gh}\]

Возводим обе части уравнения в квадрат:

\[g^2t^2 = 2gh\]

Теперь можем выразить время свободного падения \(t\):

\[t = \sqrt{\frac{2h}{g}}\]

Дано, что радиус полусферы \(r = 1.5\) метра. Мы знаем, что высота места падения равна двойному радиусу полусферы:

\[h = 2r = 2 \times 1.5 = 3\) метра.

С учетом этого, можем вычислить время свободного падения:

\[t = \sqrt{\frac{2 \times 3}{g}} = \sqrt{\frac{6}{g}} \approx 1.23\) секунды.

Таким образом, время свободного падения монетки с вершины абсолютно гладкой полусферы радиусом 1,5 метра до момента падения на поверхность составляет примерно 1.23 секунды.