Каково значение cos2B в треугольнике ABC, где ∠C равен 90°, а sinB равно 33–√105–√?

Артур

59

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Мы хотим найти значение cos2B, где B - один из углов треугольника.

Используя тригонометрию, мы можем использовать соотношение между sin и cos, которое гласит:

\[ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \]

Зная, что sinB равно \(33 - \sqrt{105} - \sqrt{} \), мы можем использовать это уравнение, чтобы найти значение cosB.

Давайте выразим sinB из данного уравнения:

\[ \sin^2 B = 1 - \cos^2 B \]

\[ \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} \]

Теперь мы можем решить это уравнение, зная, что sinB равно \(33 - \sqrt{105} - \sqrt{} \). Подставим данное значение и решим уравнение:

\[ 33 - \sqrt{105} - \sqrt{} = \sqrt{1 - \cos^2 B} \]

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

\[ (33 - \sqrt{105} - \sqrt{})^2 = 1 - \cos^2 B \]

\[ 1089 - 66\sqrt{105} - 66\sqrt{} + 105 + 2\sqrt{} = 1 - \cos^2 B \]

\[ 1195 - 66\sqrt{105} + 2\sqrt{} = 1 - \cos^2 B \]

Теперь давайте перенесем все термы, связанные с cos^2 B, на одну сторону уравнения:

\[ \cos^2 B = 1195 - 66\sqrt{105} + 2\sqrt{} - 1 \]

\[ \cos^2 B = 1194 - 66\sqrt{105} + 2\sqrt{} \]

Наконец, мы можем найти значение cos2B, умножив значение cosB на себя:

\[ \cos2B = \cos^2 B = (1194 - 66\sqrt{105} + 2\sqrt{})^2 \]

Таким образом, значение cos2B в треугольнике ABC равно \((1194 - 66\sqrt{105} + 2\sqrt{})^2\).

Пожалуйста, обратите внимание, что это значение может быть дальше упрощено или численно приближено, в зависимости от требований задачи.