Каково значение данного выражения: 11cos(π+β)−3sin((π/2)+β), если cosβ=−(1/7)?

Yaroslav

48

Хорошо, разберемся в этой задаче. Для начала, давайте найдем значение угла β, зная, что cos β = -1/7. Чтобы найти значение β, мы можем воспользоваться обратным синусом (Arcsin или asin) и связью между обратным синусом и обратным косинусом. Обозначим этот угол как α:

\(\text{α = arcsin}(\sin \beta) = \text{arcsin}(-1/7)\)

Теперь, найдя значение угла α, мы можем перейти к выражению из задачи и подставить его вместо β:

\[11\cos(\pi + \alpha) - 3\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)\]

А теперь давайте вычислим значение каждого слагаемого в этом выражении:

\(\cos(\pi + \alpha)\) - синус и косинус являются периодическими функциями, и значения их аргументов с отступлением на целое кратное числа 2π не меняются. Таким образом, \(\cos(\pi + \alpha)\) можно записать как \(-\cos \alpha\).

\(\sin(\frac{\pi}{2} + \alpha)\) - аналогично, можно записать как \(\cos \alpha\).

Теперь заменим эти значения в исходном выражении:

\[11(-\cos \alpha) - 3(\cos \alpha)\]

\(= -11\cos \alpha - 3\cos \alpha\)

\(= -14\cos \alpha\)

Таким образом, значение данного выражения: \(-14\cos \alpha\).

Только помимо вычисления значения, нам необходимо найти само значение угла α, чтобы получить конкретное числовое значение. Вычислим его.

\(\alpha = \text{arcsin}(-1/7)\)

Вычисление арксинуса даёт нам значение угла α. Теперь давайте используем калькулятор, чтобы вычислить его:

\(\alpha \approx -0.154\)

Теперь мы можем подставить это значение в выражение для получения окончательного ответа:

\(-14\cos (-0.154)\)

Используя калькулятор, мы можем вычислить значение:

\(-14\cos (-0.154) \approx -13.933\)

Таким образом, окончательное значение данного выражения примерно равно \(-13.933\).