Какое число, написанное на доске, может иметь наименьшее значение, если при делении на 4 даёт остаток 1, при делении

Skorostnaya_Babochka

16

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод китайской теоремы об остатках. По этой теореме, если у нас есть система сравнений

\[
\begin{{align*}}
x &\equiv 1 \text{{ (mod 4)}} \\
x &\equiv 3 \text{{ (mod 6)}} \\
x &\equiv 4 \text{{ (mod 7)}}
\end{{align*}}
\]

мы можем найти единственное целое число \(x\), которое даёт остатки 1, 3 и 4 при делении на 4, 6 и 7 соответственно.

Для начала, приведем второе и третье сравнение к виду, где коэффициент перед \(x\) будет равен 1, по модулям 6 и 7 соответственно.

Чтобы привести второе сравнение к такому виду, добавим или вычтем справа и слева \(6\). Получим:

\[
x \equiv 3 \, (\text{{mod 6}}) \Rightarrow x \equiv 3 - 6 = -3 \, (\text{{mod 6}})
\]

Приведем третье сравнение:

\[
x \equiv 4 \, (\text{{mod 7}}) \Rightarrow x \equiv 4 - 7 = -3 \, (\text{{mod 7}})
\]

Теперь у нас есть система сравнений:

\[
\begin{{align*}}
x &\equiv 1 \, (\text{{mod 4}}) \\
x &\equiv -3 \, (\text{{mod 6}}) \\
x &\equiv -3 \, (\text{{mod 7}})
\end{{align*}}
\]

Теперь мы можем решить эту систему сравнений. Для этого рассмотрим каждую пару сравнений и найдем общее решение для них.

1) Сравнение \(x \equiv 1 \, (\text{{mod 4}})\) имеет решение \(x = 1 + 4k\), где \(k\) - целое число.

2) Сравнение \(x \equiv -3 \, (\text{{mod 6}})\) имеет решение \(x = -3 + 6m\), где \(m\) - целое число.

3) Сравнение \(x \equiv -3 \, (\text{{mod 7}})\) имеет решение \(x = -3 + 7n\), где \(n\) - целое число.

Теперь объединим эти решения в одно общее решение:

\[
x = 1 + 4k = -3 + 6m = -3 + 7n
\]

Из-за того, что \(x\) - наименьшее значение, мы можем рассмотреть каждое из сравнений и выбрать наименьший вариант для каждого из них. Таким образом, нам нужно выбрать минимальные значения для \(k\), \(m\) и \(n\).

Подставим некоторые значения для \(k\), чтобы найти числа, удовлетворяющие первому сравнению:

\[
\begin{{align*}}
k &= 0 \Rightarrow x = 1 \\
k &= 1 \Rightarrow x = 5 \\
k &= 2 \Rightarrow x = 9 \\
\ldots \\
\end{{align*}}
\]

Теперь подставим эти значения \(x\) во второе и третье сравнения и найдем числа, удовлетворяющие им:

\[
\begin{{align*}}
k &= 0, m = 1, n = 1 \Rightarrow x = 13 \\
k &= 1, m = 3, n = 2 \Rightarrow x = 37 \\
k &= 2, m = 5, n = 3 \Rightarrow x = 61 \\
\end{{align*}}
\]

Видим, что наименьшее значение \(x\), удовлетворяющее всем трем сравнениям, равно 13. Таким образом, число, написанное на доске, которое может иметь наименьшее значение, - это 13.