Какие из представленных групп функций являются классами функций, обладающих замкнутостью: 1) Линейная функция

Zmey

27

Для определения, какие из представленных групп функций являются классами функций, обладающих замкнутостью, необходимо рассмотреть каждую группу по отдельности.

1) Линейная функция: Линейная функция представляется уравнением вида \(f(x) = ax + b\), где \(a\) и \(b\) - константы. Линейные функции являются замкнутыми классами функций, так как для любых двух значений \(x_1\) и \(x_2\) и соответствующих им значений функции \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\), линейная функция будет удовлетворять свойству замкнутости, то есть \(f(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha f(x_1) + \beta f(x_2)\), где \(\alpha\) и \(\beta\) - произвольные константы.

2) Функции с монотонным ростом: Функции с монотонным ростом представляют собой функции, для которых справедливо неравенство \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\) для любых значений \(x_1\) и \(x_2\) из области определения функции. Функции с монотонным ростом тоже являются замкнутыми классами функций.

3) Функции, сохраняющие нуль: Функции, сохраняющие нуль, - это функции, для которых выполняется условие \(f(0) = 0\). Такие функции также являются замкнутыми классами.

4) Функции, сохраняющие нуль и единицу: Функции, сохраняющие нуль и единицу, - это функции, для которых выполняются условия \(f(0) = 0\) и \(f(1) = 1\). Однако, данная группа функций не является замкнутым классом, так как для некоторых значений \(x_1\) и \(x_2\) из области определения функции, сумма \(x_1 + x_2\) не обязательно будет равна 1, и, следовательно, функция не будет сохранять эту сумму.

5) Функции одной переменной: Функции одной переменной являются замкнутыми классами функций, поскольку они представляют собой пространство всех возможных функций только от одной переменной.

6) Функции с самодвойственностью: Функции с самодвойственностью - это функции, для которых выполнено соотношение \(f(f(x)) = x\) для всех значений \(x\) из области определения функции. Эта группа функций также является замкнутым классом.

7) Функции с монотонным убыванием: Функции с монотонным убыванием представляют собой функции, для которых справедливо неравенство \(x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\) для любых значений \(x_1\) и \(x_2\) из области определения функции. Они также являются замкнутыми классами функций.

8) Функции, сохраняющие единицу: Функции, сохраняющие единицу, - это функции, для которых выполняется условие \(f(1) = 1\). Однако, подобно группе функций 4), эта группа функций не является замкнутым классом, так как сумма \(x_1 + x_2\) для некоторых значений \(x_1\) и \(x_2\) из области определения функции не обязательно будет равна 1, и функция не будет сохранять эту сумму.

9) Функции, сохраняющие нуль, но не сохраняющие единицу: Данная группа функций также не является замкнутым классом, так как она не удовлетворяет условию сохранения единицы (условие \(f(1) = 1\) не выполняется).

10) Функции двух переменных: Функции двух переменных представляют собой пространство всех возможных функций от двух переменных. Это также является замкнутым классом функций.

Таким образом, классы функций, обладающие замкнутостью, в данной задаче включают:
- Линейные функции
- Функции с монотонным ростом
- Функции, сохраняющие нуль
- Функции одной переменной
- Функции с самодвойственностью
- Функции с монотонным убыванием
- Функции двух переменных