Каково значение фокусного расстояния линзы, если собирающая линза создает действительное изображение предмета

Ящерка

61

Фокусное расстояние линзы - это расстояние от центра линзы до ее фокуса. Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим две ситуации.

1. Для собирающей линзы, которая создает действительное изображение увеличенное в три раза:

Обозначим фокусное расстояние линзы как \(f\) и увеличение изображения как \(M\). Формула, связывающая фокусное расстояние, увеличение и расстояние между предметом и линзой, называется формулой линзовой силы:

\[\frac{1}{f} = \left(\frac{1}{d_o} - \frac{1}{d_i}\right)\]

где \(d_o\) - расстояние от предмета до линзы, а \(d_i\) - расстояние от изображения до линзы.

Заметим, что линза создает действительное увеличенное изображение, поэтому \(d_i\) должно быть отрицательным (т.е. изображение находится справа от линзы).

Дано, что изображение увеличено в три раза, а потому \(M = 3\). Так как увеличение определяется как отношение высоты изображения к высоте предмета:

\[M = \frac{h_i}{h_o}\]

где \(h_i\) - высота изображения, \(h_o\) - высота предмета.

В данной задаче не указаны конкретные значения высот, поэтому давайте рассмотрим их в общем виде.

Используя свойства похожих треугольников, можно установить следующее соотношение:

\[\frac{h_i}{h_o} = -\frac{d_i}{d_o}\]

Подставим известные значения:

\[3 = -\frac{d_i}{d_o}\]

Теперь давайте решим эту систему уравнений:

\[\frac{1}{f} = \left(\frac{1}{d_o} - \frac{1}{d_i}\right)\]
\[3 = -\frac{d_i}{d_o}\]

Упростим второе уравнение:

\[\frac{1}{f} = \left(\frac{1}{d_o} + \frac{1}{3d_o}\right)\]

Сложим дроби под общим знаменателем:

\[\frac{1}{f} = \frac{4}{3d_o}\]

Теперь найдем значение фокусного расстояния \(f\). Умножим обе части уравнения на \(f\) и получим:

\[1 = \frac{4f}{3d_o}\]

Теперь можно рассчитать значение фокусного расстояния \(f\):

\[f = \frac{3d_o}{4}\]

Таким образом, значение фокусного расстояния линзы зависит от расстояния между предметом и линзой \(d_o\).