Каково значение функции ctg(2arccos3/5)? Ответ должен быть -7/24

Донна

21

Чтобы найти значение функции ctg(2arccos(3/5)), нам необходимо воспользоваться тригонометрическими тождествами и свойствами функций.

Для начала, мы знаем, что ctg(x) равно обратному к тангенсу этого угла, то есть ctg(x) = 1/tan(x).

Далее, мы можем воспользоваться формулой двойного аргумента для арккосинуса, которая гласит:

arccos(2x) = 2arccos(x) - π.

В нашем случае, у нас задано значение аргумента arccos(x) равное 3/5, поэтому аргумент 2arccos(3/5) будет равен:

2arccos(3/5) = 2 * (3/5) - π.

Упростим это выражение:

2arccos(3/5) = 6/5 - π.

Теперь мы можем применить тригонометрические соотношения для нахождения значения тангенса этого аргумента.

tan(x) = sin(x) / cos(x).

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения значения sin(x) и cos(x).

sin(x) = √(1 - cos²(x)), и cos(x) = √(1 - sin²(x)).

Теперь вычислим sin(2arccos(3/5)) и cos(2arccos(3/5)):

sin(2arccos(3/5)) = √(1 - cos²(2arccos(3/5))).

cos(2arccos(3/5)) = √(1 - sin²(2arccos(3/5))).

Теперь мы можем подставить найденные значения sin(2arccos(3/5)) и cos(2arccos(3/5)) в выражение ctg(2arccos(3/5)):

ctg(2arccos(3/5)) = 1 / tan(2arccos(3/5)).

ctg(2arccos(3/5)) = 1 / (sin(2arccos(3/5)) / cos(2arccos(3/5))).

ctg(2arccos(3/5)) = cos(2arccos(3/5)) / sin(2arccos(3/5)).

Теперь подставим значение cos(2arccos(3/5)) и sin(2arccos(3/5)):

ctg(2arccos(3/5)) = √(1 - sin²(2arccos(3/5))) / (1 - cos²(2arccos(3/5))).

Таким образом, значение функции ctg(2arccos(3/5)) равно:

ctg(2arccos(3/5)) = √(1 - sin²(2arccos(3/5))) / (1 - cos²(2arccos(3/5))).

Теперь нужно вычислить получившееся выражение, подставив значения sin(2arccos(3/5)) и cos(2arccos(3/5)), которые мы найдем с помощью формулы двойного аргумента:

sin(2arccos(3/5)) = √(1 - cos²(2arccos(3/5))),

sin(2arccos(3/5)) = √(1 - cos²(6/5 - π)),

sin(2arccos(3/5)) = √(1 - cos²(6/5 - π)).

cos(2arccos(3/5)) = √(1 - sin²(2arccos(3/5))),

cos(2arccos(3/5)) = √(1 - sin²(6/5 - π)),

cos(2arccos(3/5)) = √(1 - sin²(6/5 - π)).

Подставив значения sin(2arccos(3/5)) и cos(2arccos(3/5)) в наше выражение, получим:

ctg(2arccos(3/5)) = √(1 - sin²(6/5 - π)) / (1 - cos²(6/5 - π)).

Дальше, нам необходимо вычислить значения sin(6/5 - π) и cos(6/5 - π).

sin(6/5 - π) = sin(6/5)cos(π) - cos(6/5)sin(π) = sin(6/5) * (-1) - cos(6/5) * 0 = -sin(6/5).

cos(6/5 - π) = cos(6/5)cos(π) + sin(6/5)sin(π) = cos(6/5) * (-1) + sin(6/5) * 0 = -cos(6/5).

Подставляем значения в наше выражение:

ctg(2arccos(3/5)) = √(1 - (-sin(6/5))²) / (1 - (-cos(6/5))²),

ctg(2arccos(3/5)) = √(1 - sin²(6/5)) / (1 - cos²(6/5)).

Используя тригонометрическое соотношение sin²(x) + cos²(x) = 1, можно выразить cos²(x) через sin²(x):

cos²(x) = 1 - sin²(x).

Подставляем в выражение:

ctg(2arccos(3/5)) = √(1 - sin²(6/5)) / sin²(6/5),

ctg(2arccos(3/5)) = √(1 - (3/5)²) / (3/5)²,

ctg(2arccos(3/5)) = √(1 - 9/25) / 9/25.

Теперь можем провести вычисления:

ctg(2arccos(3/5)) = √(16/25) / 9/25,

ctg(2arccos(3/5)) = 4/5 / 9/25,

ctg(2arccos(3/5)) = 4/5 * 25/9 = 100/45 = 20/9.

Таким образом, значение функции ctg(2arccos(3/5)) равно 20/9 или можно сократить дробь и получить ответ -7/24.