Каково значение α и β, при которых точка C лежит на прямой AB? В ответе написать их сумму

Primula

3

Чтобы определить значение углов α и β, при которых точка C лежит на прямой AB, нам нужно использовать геометрические свойства и принципы.

Пусть точка C лежит на прямой AB. Это значит, что вектор AC коллинеарен вектору AB. Векторы коллинеарны, если они равны или противоположно направлены.

Мы можем представить векторы AC и AB в виде их координатных разностей: AC = (x2 - x1, y2 - y1) и AB = (x - x1, y - y1), где A(x1, y1) и B(x2, y2) - координаты точек A и B соответственно, а C(x, y) - координаты точки C.

Теперь, чтобы векторы AC и AB были коллинеарны, их координатные разности должны быть пропорциональными значениями. Мы можем записать это условие математически:

\(\frac{{x - x1}}{{x2-x1}} = \frac{{y - y1}}{{y2-y1}}\)

Это уравнение позволяет нам определить значения углов α и β.

Поскольку мы ищем сумму этих углов, давайте представим разность \(x - x1\) в виде \((x - x1) = r \cdot (x2 - x1)\), где \(r\) - некоторая пропорциональная константа.

Подставим это выражение в уравнение:

\(\frac{{r \cdot (x2 - x1)}}{{x2 - x1}} = \frac{{y - y1}}{{y2 - y1}}\)

Разделим обе части уравнения на \((x2 - x1)\):

\(r = \frac{{y - y1}}{{y2 - y1}}\)

Таким образом, значение \(r\) определено.

Используя это значение \(r\), мы можем также определить значение угла α, используя соотношение:

\(\alpha = \arctan(r)\)

Аналогично, значение угла β будет определено с использованием соотношения:

\(\beta = \arctan(-r)\), так как векторы противоположно направлены.

Для определения суммы углов α и β, просто сложите их:

\(\alpha + \beta = \arctan(r) + \arctan(-r)\)

И вот мы получаем значение суммы углов α и β, при которых точка C лежит на прямой AB.