Каково значение конечной кинетической энергии системы после того, как тяжелое тело массой 1 кг упало на горизонтальный

Svetlyachok_V_Trave

24

Для решения этой задачи нам понадобятся следующие физические принципы:

1. Закон сохранения момента импульса.
2. Закон сохранения энергии.

Давайте начнем с закона сохранения момента импульса. После того, как тяжелое тело упадет на диск, момент импульса системы должен остаться постоянным. Диск уже раскручен до угловой скорости 10 рад/с, поэтому его угловой импульс равен \(I_d \cdot \omega_d\), где \(I_d\) - момент инерции диска, а \(\omega_d\) - его угловая скорость.

Момент инерции диска можно выразить по формуле \(I_d = \frac{1}{2} m_d \cdot r_d^2\), где \(m_d\) - масса диска, а \(r_d\) - его радиус. Подставляя числовые значения \(m_d = 0,5 \, \text{кг}\) и \(r_d = 0,4 \, \text{м}\), мы получаем:

\[I_d = \frac{1}{2} \cdot 0,5 \, \text{кг} \cdot (0,4 \, \text{м})^2 = 0,04 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Теперь у нас есть значения момента инерции диска и его угловой скорости. Чтобы найти момент импульса системы, нужно учесть момент импульса тяжелого тела. Момент импульса тела можно выразить как \(I_t \cdot \omega_t\), где \(I_t\) - момент инерции тела, а \(\omega_t\) - его угловая скорость. Так как тело падает вертикально, его момент инерции будет равен \(I_t = m_t \cdot r_t^2\), где \(m_t\) - масса тела, а \(r_t\) - расстояние от оси вращения до центра масс тела.

У нас нет информации о расстоянии \(r_t\) в задаче, но можно предположить, что тело падает вертикально в центр диска, поэтому расстояние \(r_t\) будет равно радиусу диска \(r_d\). Подставляя значения \(m_t = 1 \, \text{кг}\) и \(r_t = 0,4 \, \text{м}\), мы получаем:

\[I_t = 1 \, \text{кг} \cdot (0,4 \, \text{м})^2 = 0,16 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Таким образом, момент импульса системы до падения тела равен сумме моментов импульса диска и тела:

\[I_{\text{системы}} = I_d \cdot \omega_d + I_t \cdot \omega_t\]

В начальный момент времени, когда тяжелое тело только упало на диск, угловая скорость тела равна 0, поэтому первое слагаемое \(I_d \cdot \omega_d\) будет единственным вкладом в момент импульса системы. Подставляя числовые значения \(I_d = 0,04 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\) и \(\omega_d = 10 \, \text{рад/с}\), мы получаем:

\[I_{\text{системы}} = 0,04 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot 10 \, \text{рад/с} = 0,4 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot \text{рад/с}\]

Теперь перейдем к второму физическому принципу - закону сохранения энергии. Исходная кинетическая энергия системы (до падения тела) равняется сумме кинетической энергии диска и тела:

\[E_{\text{системы}} = \frac{1}{2} I_d \omega_d^2 + \frac{1}{2} I_t \omega_t^2\]

Подставляя значения \(I_d = 0,04 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\), \(\omega_d = 10 \, \text{рад/с}\), \(I_t = 0,16 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\) и \(\omega_t = 0 \, \text{рад/с}\), мы получаем:

\[E_{\text{системы}} = \frac{1}{2} \cdot 0,04 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot (10 \, \text{рад/с})^2 + \frac{1}{2} \cdot 0,16 \, \text{кг} \cdot \text{м}^2 \cdot (0 \, \text{рад/с})^2 = 20 \, \text{Дж}\]

Таким образом, значение конечной кинетической энергии системы после того, как тело упало на диск, составляет 20 Дж.