Каково значение, при котором уравнение 12x^2+bx-2=0 имеет корень -2/3?

Morskoy_Plyazh

66

Для нахождения значения, при котором данное квадратное уравнение имеет корень \(-\frac{2}{3}\), мы будем использовать формулу дискриминанта.

1. Начнем с написания самого уравнения:

\[12x^2 + bx - 2 = 0\]

2. Зная, что у нас есть корень \(-\frac{2}{3}\), мы можем использовать эту информацию, чтобы построить уравнение с помощью разложения на множители.

3. При заданном корне, мы знаем, что \((3x + 2)\) является множителем в уравнении. Поделим исходное уравнение на \((3x + 2)\):

\[\frac{12x^2 + bx - 2}{3x + 2} = 0\]

4. Проверим наличие множителя \((3x + 2)\) в числителе уравнения:

\[(3x + 2)(4x - 1) = 0\]

5. Мы получили факторизованное уравнение, выраженное в виде произведения двух множителей. Теперь можем записать два возможных значения \(b\) на основе факторизации:

\[(3x + 2)(4x - 1) = 0\]
\[3x + 2 = 0 \quad \text{или} \quad 4x - 1 = 0\]

6. Решим каждое из уравнений для получения значений \(x\):

\[
\begin{align*}
3x + 2 &= 0 \\
3x &= -2 \\
x &= -\frac{2}{3}
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
4x - 1 &= 0 \\
4x &= 1 \\
x &= \frac{1}{4}
\end{align*}
\]

7. Теперь, чтобы получить значение \(b\), мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[b = -(\text{сумма корней}) \times (\text{произведение корней})\]

8. Подставим значения корней, которые мы получили ранее, в эту формулу:

\[
\begin{align*}
b &= -\left(-\frac{2}{3} + \frac{1}{4}\right) \times \left(-\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}\right) \\
b &= -\left(-\frac{8}{12} + \frac{3}{12}\right) \times \left(-\frac{2}{12}\right) \\
b &= -\left(-\frac{5}{12}\right) \times \left(-\frac{2}{12}\right) \\
b &= \frac{10}{144} \\
b &= \frac{5}{72}
\end{align*}
\]

Таким образом, значение \(b\) равно \(\frac{5}{72}\), при котором уравнение \(12x^2 + bx - 2 = 0\) имеет корень \(-\frac{2}{3}\).