Каково значение sin(a/2), если cos(a) = 161/289 и угол a находится в четвертой четверти?

Pchelka_1494

69

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать тригонометрическое тождество \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\).

Поскольку нам известно значение \(\cos(a) = \frac{161}{289}\), мы можем использовать это значение, чтобы найти значение \(\sin(a)\) с использованием этого тождества.

Во-первых, поскольку угол \(a\) находится в четвертой четверти, значение \(\cos(a)\) будет положительным, поскольку \(\cos(x)\) положительно в четвертой четверти.

Теперь, используем тригонометрическое тождество:
\[\sin^2(a) = 1 - \cos^2(a)\]
\[\sin^2(a) = 1 - \left(\frac{161}{289}\right)^2\]
\[\sin^2(a) = 1 - \frac{161^2}{289^2}\]
\[\sin^2(a) = 1 - \frac{25921}{83521}\]
\[\sin^2(a) = \frac{83521 - 25921}{83521}\]
\[\sin^2(a) = \frac{57600}{83521}\]

Теперь найдём значение \(\sin(a)\). Поскольку угол \(a\) находится в четвертой четверти, значение \(\sin(a)\) будет отрицательным, так как \(\sin(x)\) отрицательно в четвертой четверти.

\[\sin(a) = -\sqrt{\frac{57600}{83521}}\]
\[\sin(a) = - \frac{240}{289}\]

Для того чтобы найти значение \(\sin\left(\frac{a}{2}\right)\), мы можем использовать трогонометрическую формулу половинного угла:
\[\sin\left(\frac{a}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{2}}\]

Поскольку угол \(a\) находится в четвертой четверти, значение \(\sin\left(\frac{a}{2}\right)\) будет отрицательным.

Теперь, мы можем найти значение \(\sin\left(\frac{a}{2}\right)\):
\[\sin\left(\frac{a}{2}\right) = - \sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{2}}\]
\[\sin\left(\frac{a}{2}\right) = - \sqrt{\frac{1 - \frac{161}{289}}{2}}\]
\[\sin\left(\frac{a}{2}\right) = - \sqrt{\frac{1 - \frac{161}{289}}{2}}\]
\[\sin\left(\frac{a}{2}\right) = - \sqrt{\frac{289 - 161}{289 \cdot 2}}\]
\[\sin\left(\frac{a}{2}\right) = - \sqrt{\frac{128}{289 \cdot 2}}\]
\[\sin\left(\frac{a}{2}\right) = - \sqrt{\frac{64}{289}}\]
\[\sin\left(\frac{a}{2}\right) = - \frac{8}{17}\]

Итак, значение \(\sin\left(\frac{a}{2}\right)\) равно \(-\frac{8}{17}\).