Каково значение sin (α + β), если sinα = 3/5; П/2 < α < П, cosβ = - 5/13; П < β < 3П/2

Загадочный_Сокровище

58

Дано: $\sin \alpha =\frac{3}{5}$, где $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ и $\cos \beta =-\frac{5}{13}$, где $\pi <\beta <\frac{3\pi }{2}$.

Чтобы найти значение $\sin (\alpha +\beta )$, мы можем использовать формулу синуса суммы двух углов:
$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$

Давайте найдем значение $\cos \alpha$. Мы знаем, что:
$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$
Подставляем значение $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ и находим квадрат значения:
$${\left(\frac{3}{5}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$$
$$\frac{9}{25}+{\cos }^2\alpha =1$$
Вычитаем $\frac{9}{25}$ и находим квадрат значения косинуса:
$${\cos }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$
Извлекаем квадратный корень и получаем:
$$\cos \alpha =\frac{4}{5}$$

Теперь мы можем использовать значения $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\cos \beta$ и формулу синуса суммы двух углов, чтобы найти $\sin (\alpha +\beta )$:
$$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$$
$$\sin (\alpha +\beta )=\frac{3}{5}\cdot (-\frac{5}{13})+\frac{4}{5}\cdot \sin \beta$$
$$\sin (\alpha +\beta )=-\frac{3}{13}+\frac{4}{5}\cdot \sin \beta$$

Теперь давайте найдем значение $\sin \beta$. Мы можем использовать те же самые шаги, чтобы найти значение $\cos \beta$:
$${\cos }^2\beta =1-{\sin }^2\beta$$
$${\cos }^2\beta =1-{(-\frac{5}{13})}^2=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$$
$$\cos \beta =\frac{12}{13}$$

Теперь мы можем использовать значение $\cos \beta$ для того, чтобы найти значение $\sin \beta$:
$${\sin }^2\beta =1-{\cos }^2\beta =1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2=1-\frac{144}{169}=\frac{25}{169}$$
$$\sin \beta =\pm \frac{5}{13}$$

Так как мы знаем, что $\pi <\beta <\frac{3\pi }{2}$, то угол $\beta$ находится в третьем квадранте, где синус является отрицательным. Поэтому выбираем $\sin \beta =-\frac{5}{13}$.

Теперь, подставляем значения $\sin \alpha$, $\cos \alpha$, $\cos \beta$ и $\sin \beta$ в формулу синуса суммы двух углов:
$$\sin (\alpha +\beta )=-\frac{3}{13}+\frac{4}{5}\cdot (-\frac{5}{13})$$

Выполняем вычисления и находим окончательный ответ:
$$\sin (\alpha +\beta )=-\frac{3}{13}-\frac{4}{13}=-\frac{7}{13}$$

Итак, $\sin (\alpha +\beta )=-\frac{7}{13}$.