Каково значение sin (α + β), если sinα = 3/5; П/2 < α < П, cosβ = - 5/13; П < β < 3П/2

Загадочный_Сокровище

58

Дано: \(\sin{\alpha} = \frac{3}{5}\), где \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) и \(\cos{\beta} = -\frac{5}{13}\), где \(\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}\).

Чтобы найти значение \(\sin{(\alpha + \beta)}\), мы можем использовать формулу синуса суммы двух углов:
\[\sin{(\alpha + \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}\]

Давайте найдем значение \(\cos{\alpha}\). Мы знаем, что:
\[\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\]
Подставляем значение \(\sin{\alpha} = \frac{3}{5}\) и находим квадрат значения:
\[\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2{\alpha} = 1\]
\[\frac{9}{25} + \cos^2{\alpha} = 1\]
Вычитаем \(\frac{9}{25}\) и находим квадрат значения косинуса:
\[\cos^2{\alpha} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\]
Извлекаем квадратный корень и получаем:
\[\cos{\alpha} = \frac{4}{5}\]

Теперь мы можем использовать значения \(\sin{\alpha}\), \(\cos{\alpha}\), \(\cos{\beta}\) и формулу синуса суммы двух углов, чтобы найти \(\sin{(\alpha + \beta)}\):
\[\sin{(\alpha + \beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}\]
\[\sin{(\alpha + \beta)} = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{5}{13}) + \frac{4}{5} \cdot \sin{\beta}\]
\[\sin{(\alpha + \beta)} = -\frac{3}{13} + \frac{4}{5} \cdot \sin{\beta}\]

Теперь давайте найдем значение \(\sin{\beta}\). Мы можем использовать те же самые шаги, чтобы найти значение \(\cos{\beta}\):
\[\cos^2{\beta} = 1 - \sin^2{\beta}\]
\[\cos^2{\beta} = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\]
\[\cos{\beta} = \frac{12}{13}\]

Теперь мы можем использовать значение \(\cos{\beta}\) для того, чтобы найти значение \(\sin{\beta}\):
\[\sin^2{\beta} = 1 - \cos^2{\beta} = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}\]
\[\sin{\beta} = \pm \frac{5}{13}\]

Так как мы знаем, что \(\pi < \beta < \frac{3\pi}{2}\), то угол \(\beta\) находится в третьем квадранте, где синус является отрицательным. Поэтому выбираем \(\sin{\beta} = -\frac{5}{13}\).

Теперь, подставляем значения \(\sin{\alpha}\), \(\cos{\alpha}\), \(\cos{\beta}\) и \(\sin{\beta}\) в формулу синуса суммы двух углов:
\[\sin{(\alpha + \beta)} = -\frac{3}{13} + \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right)\]

Выполняем вычисления и находим окончательный ответ:
\[\sin{(\alpha + \beta)} = -\frac{3}{13} - \frac{4}{13} = -\frac{7}{13}\]

Итак, \(\sin{(\alpha + \beta)} = -\frac{7}{13}\).