Каково значение выражения (14(sin² 79° - cos² 79°))/ cos158° - 51/sin² 80° + sin² 170°?

Солнечный_День

64

Давайте разберемся с выражением по шагам.

1. Начнем с преобразования тригонометрических выражений. Первое, что нам понадобится, это знание о тригонометрических тождествах:
- \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
- \(\sin(180° - \theta) = \sin \theta\)
- \(\cos(180° - \theta) = -\cos \theta\)

2. Заменим \(\sin^2 79°\) в выражении. Используя первое тождество, получим:
\(\sin^2 79° = 1 - \cos^2 79°\)

Теперь выражение принимает вид:
\(\frac{14(1 - \cos^2 79° - \cos^2 79°)}{\cos 158°} - \frac{51}{\sin^2 80°} + \sin^2 170°\)

3. Заменим \(\sin^2 80°\) в выражении. Используя первое тождество, получим:
\(\sin^2 80° = 1 - \cos^2 80°\)

Теперь выражение принимает вид:
\(\frac{14(1 - \cos^2 79° - \cos^2 79°)}{\cos 158°} - \frac{51}{1 - \cos^2 80°} + \sin^2 170°\)

4. Заменим \(\cos 158°\) в выражении. Используя третье тождество, получим:
\(\cos 158° = -\cos(180° - 158°) = -\cos 22°\)

Теперь выражение принимает вид:
\(\frac{14(1 - \cos^2 79° - \cos^2 79°)}{-\cos 22°} - \frac{51}{1 - \cos^2 80°} + \sin^2 170°\)

5. Заменим \(\sin^2 170°\) в выражении. Используя второе тождество, получим:
\(\sin^2 170° = \sin^2(180° - 170°) = \sin^2 10°\)

Теперь выражение принимает вид:
\(\frac{14(1 - \cos^2 79° - \cos^2 79°)}{-\cos 22°} - \frac{51}{1 - \cos^2 80°} + \sin^2 10°\)

6. Теперь, чтобы продолжить, нам необходимо рассчитать значения \(\cos 22°\), \(\cos^2 79°\) и \(\cos^2 80°\). Это можно сделать, обратившись к таблицам значений тригонометрических функций или используя калькулятор.

7. Подставим найденные значения в исходное выражение и выполним все вычисления. Полученное значение будет окончательным ответом.

Таким образом, чтобы определить значение выражения \(\frac{14(\sin^2 79° - \cos^2 79°)}{\cos 158°} - \frac{51}{\sin^2 80°} + \sin^2 170°\), необходимо выполнить несколько тригонометрических преобразований и расчетов. Например, можно воспользоваться таблицами значений тригонометрических функций или калькулятором для вычисления значений \(\cos 22°\), \(\cos^2 79°\) и \(\cos^2 80°\), чтобы получить окончательный ответ.