Каково значение выражения 3sin2α - 7cos2α, если cosα = -0,1?

Mariya

40

Хорошо, чтобы решить данную задачу, давайте воспользуемся формулой для синуса удвоенного угла и формулой для косинуса удвоенного угла.

Формула для синуса удвоенного угла:
\[\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\]

Формула для косинуса удвоенного угла:
\[\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)\]

У нас дано значение \(\cos(\alpha) = -0.1\), поэтому мы можем использовать это значение для вычисления результатов.

1. Найдем \(\sin(\alpha)\) с помощью формулы \(\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1\):
\[\sin(\alpha) = \pm \sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}\]
\[\sin(\alpha) = \pm \sqrt{1 - (-0.1)^2}\]
\[\sin(\alpha) = \pm \sqrt{1 - 0.01} = \pm \sqrt{0.99}\]

Поскольку у нас нет конкретного значения для \(\sin(\alpha)\), мы оставим его в виде общей формулы \(\sin(\alpha) = \pm \sqrt{0.99}\).

2. Теперь подставим значения \(\sin(\alpha)\) и \(\cos(\alpha)\) в выражение \(3\sin(2\alpha) - 7\cos(2\alpha)\):
\[3\sin(2\alpha) - 7\cos(2\alpha) = 3(2\sin(\alpha)\cos(\alpha)) - 7(\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha))\]

Подставим значения:
\[3(2(\pm \sqrt{0.99})(-0.1)) - 7((-0.1)^2 - (\pm \sqrt{0.99})^2)\]
\[3(\pm 2\sqrt{0.99})(-0.1) - 7(0.01 - 0.99)\]

Распределим отрицательные значения и упростим выражение:
\[-0.6 \sqrt{0.99} + 0.7 = 0.7 - 0.6 \sqrt{0.99}\]

Итак, получаем, что значение выражения \(3\sin(2\alpha) - 7\cos(2\alpha)\), при \(\cos(\alpha) = -0.1\), равно \(0.7 - 0.6 \sqrt{0.99}\).

Надеюсь, это решение понятно для школьника. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте.