Каково значение выражения ctg(x-17π), если ctg(4π-x) = 3/11?

Elizaveta

37

Хорошо, давайте решим данную задачу. Для начала, давайте вспомним определение тангенса и котангенса. Тангенс угла определяется как отношение синуса данного угла к косинусу: \(\tan{\theta} = \frac{{\sin{\theta}}}{{\cos{\theta}}}\). Аналогично, котангенс угла описывается как отношение косинуса данного угла к синусу: \(\cot{\theta} = \frac{{\cos{\theta}}}{{\sin{\theta}}}\).

Теперь, когда мы знаем определения, мы можем перейти к решению задачи. У нас есть данное равенство: \(\cot(4\pi - x) = \frac{3}{11}\). Мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями, чтобы выразить котангенс через тангенс.

Применим идентичность \(\cot{\theta} = \frac{1}{\tan{\theta}}\), получим: \(\frac{1}{\tan(4\pi - x)} = \frac{3}{11}\). Теперь найдем значение тангенса угла \(4\pi - x\).

Для этого, воспользуемся тригонометрической идентичностью \(\tan(x - y) = \frac{{\tan{x} - \tan{y}}}{{1 + \tan{x}\tan{y}}}\).

У нас есть \(\tan(4\pi - x)\), и мы хотим найти его значение. Поскольку \(\tan(4\pi - x)\) сводится к \(\tan(-x)\) (поскольку \(\tan{\theta}\) имеет период \(\pi\), то \(\tan(4\pi - x) = \tan(-x)\)), мы будем использовать идентичность \(\tan(-x) = -\tan{x}\).

Таким образом, мы получаем: \(-\tan{x} = \frac{3}{11}\). Теперь найдем значение тангенса угла \(x\). Возьмем обратную функцию от обеих частей равенства: \(\tan{x} = -\frac{11}{3}\).

Итак, значение тангенса угла \(x\) равно \(-\frac{11}{3}\).

Теперь, когда у нас есть значение тангенса, мы можем найти котангенс угла \(x-17\pi\). Воспользуемся тригонометрической идентичностью: \(\cot{\theta} = \frac{1}{\tan{\theta}}\). Заметим, что угол \(x - 17\pi\) имеет ту же тангенс: \(\tan(x - 17\pi) = \tan{x}\).

Подставим значение тангенса угла \(x\), получим: \(\cot(x - 17\pi) = \frac{1}{\tan(x - 17\pi)} = \frac{1}{\tan{x}} = \frac{1}{-\frac{11}{3}}\).

Таким образом, значение выражения \(\cot(x - 17\pi)\) равно \(-\frac{3}{11}\).

Ответ: \(\cot(x - 17\pi) = -\frac{3}{11}\).