Каковы будут изменения в объеме цилиндра при следующих изменениях его параметров: 1) удвоение высоты и диаметра

Angelina

26

Для решения данной задачи нам необходимо знать формулу для объема цилиндра. Объем цилиндра можно вычислить по следующей формуле:

\[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \]

где \( V \) - объем цилиндра, \( \pi \) - число пи (приближенное значение 3.14), \( r \) - радиус основания цилиндра, \( h \) - высота цилиндра.

1) При удвоении высоты и диаметра основания цилиндра:
Высота цилиндра удваивается, то есть \( h" = 2 \cdot h \).
Диаметр основания также удваивается, а радиус - половина диаметра. То есть \( r" = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot r = r \cdot 1 \).
Подставим новые значения в формулу объема:
\[ V" = \pi \cdot (r")^2 \cdot h" = \pi \cdot r^2 \cdot h \cdot 1 \cdot 2 = 2V \]

Таким образом, при удвоении высоты и диаметра основания, объем цилиндра увеличивается в 2 раза.

2) При уменьшении высоты и диаметра основания цилиндра на 50%:
Высота цилиндра уменьшается в 50%, то есть \( h" = 0.5 \cdot h \).
Диаметр основания также уменьшается в 50%, а радиус - половина диаметра. То есть \( r" = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot r = r \cdot 0.25 \).
Подставим новые значения в формулу объема:
\[ V" = \pi \cdot (r")^2 \cdot h" = \pi \cdot (r \cdot 0.25)^2 \cdot (0.5 \cdot h) = \pi \cdot r^2 \cdot 0.0625 \cdot h \cdot 0.5 = 0.03125V \]

Таким образом, при уменьшении высоты и диаметра основания на 50%, объем цилиндра уменьшается в 32 раза.

3) При увеличении высоты и диаметра основания в 4 раза:
Высота цилиндра увеличивается в 4 раза, то есть \( h" = 4 \cdot h \).
Диаметр основания также увеличивается в 4 раза, а радиус - половина диаметра. То есть \( r" = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot r = r \cdot 2 \).
Подставим новые значения в формулу объема:
\[ V" = \pi \cdot (r")^2 \cdot h" = \pi \cdot (r \cdot 2)^2 \cdot (4 \cdot h) = \pi \cdot r^2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot h = 16V \]

Таким образом, при увеличении высоты и диаметра основания в 4 раза, объем цилиндра увеличивается в 16 раз.