Каковы числитель и знаменатель обыкновенной дроби, если числитель меньше знаменателя на 1? Если к числителю добавить

Sladkaya_Vishnya

19

Давайте решим эту задачу по шагам.

Шаг 1: Предположим, что числитель обыкновенной дроби равен \(x\), а знаменатель равен \(y\). Также, согласно условию, мы знаем, что числитель меньше знаменателя на 1. То есть, мы можем записать это следующим образом: \(x = y - 1\).

Шаг 2: Согласно второму условию задачи, если к числителю добавить 2 и к знаменателю вычесть 5, полученная дробь уменьшится на 0.2. Мы можем записать это следующим образом: \(\frac{x+2}{y-5} = \frac{x}{y} - 0.2\).

Шаг 3: Подставим \(x = y - 1\) в уравнение из шага 2 и решим его. Получим следующее:

\[\frac{(y-1) + 2}{y-5} = \frac{y-1}{y} - 0.2\]

\[\frac{y + 1}{y-5} = \frac{y-1}{y} - 0.2\]

Шаг 4: Упростим это уравнение, умножив все его части на \(y(y-5)\) (общим знаменателем), чтобы избавиться от дробей:

\[(y + 1)y = (y-1)(y-5) - 0.2y(y-5)\]

\(y^2 + y = (y^2 - 6y + 5) - 0.2y^2 + y\)

Шаг 5: Упростим полученное уравнение:

\(y^2 + y = y^2 - 6y + 5 - 0.2y^2 + y\)

\(y^2 + y = y^2 - 0.2y^2 - 6y + y + 5\)

\(y = -0.2y^2 - 6y + 5\)

Шаг 6: Перепишем уравнение в квадратичной форме:

\(0.2y^2 + 5.8y - 5 = 0\)

Шаг 7: Решим квадратное уравнение. Мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы найти значения \(y\):

\(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 0.2\), \(b = 5.8\), и \(c = -5\).

\(D = (5.8)^2 - 4(0.2)(-5)\)

\(D = 33.64 + 4\)

\(D = 37.64\)

Шаг 8: Теперь найдем значения \(y\) с использованием формулы корней квадратного уравнения:

\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)

\(y_1 = \frac{-5.8 + \sqrt{37.64}}{2(0.2)}\)

\(y_1 = \frac{-5.8 + 6.14}{0.4}\)

\(y_1 = \frac{0.34}{0.4}\)

\(y_1 = 0.85\)

\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

\(y_2 = \frac{-5.8 - \sqrt{37.64}}{2(0.2)}\)

\(y_2 = \frac{-5.8 - 6.14}{0.4}\)

\(y_2 = \frac{-11.94}{0.4}\)

\(y_2 = -29.85\)

Очевидно, что значение \(y_2\) является негативным и не является разумным решением для этой задачи. Поэтому, мы выбираем \(y = 0.85\).

Шаг 9: Теперь, когда мы нашли значение \(y\), мы можем найти значение \(x\) с использованием уравнения \(x = y - 1\):

\(x = 0.85 - 1\)

\(x = -0.15\)

Шаг 10: Мы получили, что числитель \(x = -0.15\) и знаменатель \(y = 0.85\), но в этой задаче только положительные значения являются разумными решениями. Поэтому, дробь будет иметь числитель и знаменатель, равные 0.15 и 0.85 соответственно.

Таким образом, дробь, соответствующая данной задаче, равна \(\frac{0.15}{0.85}\).