Каковы дисперсии следующих величин: а) X-1; б) -2X; в) 3X+6, если дисперсия случайной величины X равна

Evgeniy

66

Чтобы найти дисперсии данных случайных величин, нам потребуется некоторое начальное предположение относительно дисперсии ${\sigma }_X^2$ самой случайной величины $X$. Для удобства в анализе, давайте предположим, что ${\sigma }_X^2=D$, где $D$ - какое-то известное нам значение.

a) Теперь рассмотрим случайную величину $X-1$. Чтобы найти ее дисперсию, мы должны использовать свойство дисперсии линейного преобразования. Используя это свойство, мы знаем, что дисперсия линейного преобразования равна квадрату коэффициента при $X$ умноженного на дисперсию $X$. В данном случае, у нас есть линейное преобразование $X-1$, где коэффициент равен 1. Таким образом, дисперсия $X-1$ равна $D\times 1^2=D$.

б) Теперь рассмотрим случайную величину $-2X$. По аналогии с предыдущим примером, мы должны использовать свойство дисперсии линейного преобразования. В данном случае, у нас есть линейное преобразование $-2X$, где коэффициент равен -2. Таким образом, дисперсия $-2X$ равна $D\times (-2{)}^2=4D$.

в) Теперь рассмотрим случайную величину $3X+6$. Опять же, мы должны использовать свойство дисперсии линейного преобразования. В данном случае, у нас есть линейное преобразование $3X+6$, где коэффициент равен 3. Таким образом, дисперсия $3X+6$ равна $D\times 3^2=9D$.

Таким образом, ответы на поставленную задачу:

а) Дисперсия $X-1$ равна $D$.
б) Дисперсия $-2X$ равна $4D$.
в) Дисперсия $3X+6$ равна $9D$.

Обратите внимание, что предположение о значении дисперсии ${\sigma }_X^2$ было сделано для удобства в анализе и ответы выражены через этот параметр. В реальной задаче необходимо иметь информацию о значении ${\sigma }_X^2$, чтобы дать более точный ответ.