Каковы длина и ширина прямоугольника, если его периметр равен 30 см, а при увеличении длины на 5 см и уменьшении ширины

Радуга

35

Давайте решим задачу о прямоугольнике.

Пусть длина прямоугольника равна \(x\) см, а ширина равна \(y\) см.

Периметр прямоугольника – это сумма всех его сторон. Так как у прямоугольника две пары равных сторон, получаем:

\[2x + 2y = 30\]

Увеличивая длину на 5 см, получаем новую длину \(x+5\) см, а уменьшая ширину на 3 см, получаем новую ширину \(y-3\) см.

Площадь прямоугольника можно выразить как произведение его длины и ширины. Таким образом, исходная площадь равна \(xy\) см².

По условию, новая площадь уменьшается на 8 см², то есть:

\[(x+5)(y-3) = xy - 8\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases}2x + 2y = 30 \\ (x+5)(y-3) = xy - 8\end{cases}\]

Давайте решим эту систему уравнений.

1) Распишем второе уравнение:

\[xy - 3x + 5y - 15 = xy - 8\]

Упростим уравнение, убрав лишние слагаемые:

\[-3x + 5y - 15 = -8\]

2) Перенесем все слагаемые с неизвестными в одну часть уравнения:

\[-3x + 5y = -8 + 15\]

\[-3x + 5y = 7\]

3) Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[\begin{cases}2x + 2y = 30 \\ -3x + 5y = 7\end{cases}\]

Для решения системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений.

Давайте воспользуемся методом сложения/вычитания.

4) Умножим первое уравнение на 3 и второе уравнение на 2:

\[\begin{cases}6x + 6y = 90 \\ -6x + 10y = 14\end{cases}\]

5) Сложим эти уравнения:

\[(6x + 6y) + (-6x + 10y) = 90 + 14\]

Упростим выражение:

\[16y = 104\]

6) Разделим обе части уравнения на 16:

\[y = \frac{104}{16}\]
\[y = 6.5\]

Теперь найдем значение \(x\) с помощью первого уравнения:

\[2x + 2y = 30\]
\[2x + 2(6.5) = 30\]
\[2x + 13 = 30\]
\[2x = 17\]
\[x = 8.5\]

Итак, получаем, что длина прямоугольника равна 8.5 см, а ширина равна 6.5 см.

Чтобы проверить правильность ответа, подставим эти значения в уравнения площади:

\[(8.5+5)(6.5-3) = 8.5*6.5 - 8\]
\[(13.5)(3.5) = 55.25 - 8\]
\(47.25 = 47.25\)

Оба уравнения равны, что подтверждает правильность ответа.

Таким образом, длина прямоугольника равна 8.5 см, а ширина равна 6.5 см.