У трапеції ABCD з кутом A, рівним 90 градусів, і стороною AB довжиною 12 см, діагональ BD розділяє середню лінію

Malyshka

13

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать свойства трапеции и применить соответствующие формулы.

Периметр трапеции вычисляется как сумма длин всех её сторон.

Дано, что угол A равен 90 градусов, сторона AB равна 12 см, а отрезки KM и ML имеют соответствующие длины 5,5 см и 3 см.

Известно также, что диагональ BD делит среднюю линию KL на два равных отрезка, KM и ML.

Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции как O.

Так как BD делит KL на две равные части, то KO и LO равны между собой.

Мы можем разделить трапецию на два прямоугольных треугольника, используя диагонали.

В треугольнике AKO, мы можем применить теорему Пифагора:

\[
AO^2 = AK^2 + KO^2
\]

Так как угол A равен 90 градусов, то AK равно стороне AB, значит, AK = AB = 12 см.

Также, KO равно половине KL, а KL равно сумме KM и ML:

KL = KM + ML = 5,5 см + 3 см = 8,5 см.

Таким образом, KL = KO + OL = 8,5 см.

Теперь мы можем использовать полученные данные для вычисления AO:

\[
AO = \sqrt{{AK^2 + KO^2}} = \sqrt{{12^2 + \left(\frac{{8,5}}{{2}}\right)^2}}
\]

\[
AO = \sqrt{{144 + \left(\frac{{8,5}}{{2}}\right)^2}} = \sqrt{{144 + 36,125}} \approx \sqrt{{180,125}} \approx 13,42 \, \text{{см}}
\]

Периметр трапеции определяется суммой всех её сторон. В нашем случае, у нас есть стороны AB, BC, CD и DA.

AB уже дано равным 12 см. Также, сторона CD равна AB, так как AD и BC являются продолжениями сторон AB и CD соответственно.

Теперь мы можем найти стороны BC и DA при помощи теоремы Пифагора, примененной к прямоугольным треугольникам BCD и ACD.

В треугольнике BCD:

\[
BD^2 = BC^2 + CD^2
\]

В треугольнике ACD:

\[
AD^2 = AC^2 + CD^2
\]

Используя свойство трапеции, мы знаем, что BC и AD равны, так как они параллельны и находятся на одинаковом расстоянии от базы AB.

Таким образом, BC равно CD, а AD равно AC.

Заметим также, что BD является диаметром описанной окружности трапеции ABCD.

Подставим ранее известные значения в уравнения теоремы Пифагора:

В треугольнике BCD:

\[
BD^2 = BC^2 + CD^2
\]

\[
BD^2 = CD^2 + CD^2 = 2 \cdot CD^2
\]

\[
CD = \sqrt{\frac{BD^2}{2}}
\]

Мы уже знаем, что BD равно 2 \cdot AO, где AO - найденная нами ранее длина.

Тогда, подставим значения:

\[
CD = \sqrt{\frac{BD^2}{2}} = \sqrt{\frac{(2 \cdot AO)^2}{2}} = \sqrt{\frac{4 \cdot AO^2}{2}} = \sqrt{2 \cdot AO^2} = \sqrt{2} \cdot AO
\]

Таким образом, CD равно \(\sqrt{2}\) раза AO.

Аналогично, в треугольнике ACD, используя уравнение теоремы Пифагора:

\[
AD^2 = AC^2 + CD^2
\]

\[
AD^2 = AC^2 + (\sqrt{2} \cdot AO)^2 = AC^2 + 2 \cdot AO^2
\]

Так как AC равно AD, то

\[
2 \cdot AD^2 = AC^2 + 2 \cdot AO^2
\]

\[
2 \cdot AD^2 = AC^2 + 2 \cdot 180,125
\]

Мы можем найти AC, записав уравнение через AD:

\[
2 \cdot AD^2 = AD^2 + 360,25
\]

\[
AD^2 = 360,25
\]

\[
AD = \sqrt{360,25} \approx 18,99 \, \text{см}
\]

Теперь, как известны все стороны трапеции, мы можем найти её периметр.

Периметр равен сумме длин всех сторон:

\[
\text{Периметр} = AB + BC + CD + DA = 12 \, \text{см} + 12 \, \text{см} + \sqrt{2} \cdot 13,42 \, \text{см} + \sqrt{2} \cdot 18,99 \, \text{см}
\]

\[
\text{Периметр} = 24 \, \text{см} + 13,42 \cdot \sqrt{2} \, \text{см} + 18,99 \cdot \sqrt{2} \, \text{см} \approx 24 \, \text{см} + 19 \cdot \sqrt{2} \, \text{см} \approx 54,46 \, \text{см}
\]

Итак, периметр трапеции ABCD составляет примерно 54,46 см.