1. Что такое радиус сферы, вписанной в куб, если площадь этой сферы равна 64π? 2. Какая площадь сечения шара будет

Арбуз

4

1. Чтобы решить эту задачу, давайте взглянем на сферу, вписанную в куб. Куб состоит из 6 граней, которые являются квадратами. Предположим, что радиус сферы, вписанной в куб, равен \(r\).

Так как сфера полностью вписывается в куб, то диагональ куба равна диаметру сферы. Длина диагонали куба равна стороне куба, умноженной на \(\sqrt{3}\), поэтому получаем следующее уравнение:

\(\text{диагональ куба} = 2r\sqrt{3}\)

Теперь мы знаем, что площадь сферы равна \(64\pi\), значит:

\(4\pi r^2 = 64\pi\)

Разделим обе части уравнения на \(4\pi\):

\(r^2 = 16\)

Возведем в квадрат обе части уравнения:

\(r = 4\)

Таким образом, радиус сферы, вписанной в куб, равен 4.

2. Для решения этой задачи, давайте представим шар и плоскость, проведенную под углом 45° к его диаметру. Так как плоскость проходит через центр шара и поперечная ось находится под углом 45°, она разделяет шар на две полусферы.

Площадь сечения шара плоскостью в данном случае будет являться площадью круга, образованного сечением полусферы. Так как нам дано, что диаметр шара равен 4, радиус будет равен половине диаметра, то есть 2.

Формула для площади круга: \(S = \pi r^2\)

Подставим значения:

\(S = \pi \cdot 2^2\)

\(S = \pi \cdot 4\)

Ответ: Площадь сечения шара, проведенной под углом 45° к его диаметру, равна \(4\pi\).

Ниже приведен рисунок, иллюстрирующий сечение шара плоскостью под углом 45° к его диаметру:

\[insert image here\]