Каковы длины диагоналей параллелограмма, если стороны равны 6 см и 5 см, а угол между ними равен 120°? (Меньшая

Артемовна

9

Чтобы найти длины диагоналей параллелограмма, нам понадобится использовать закон косинусов.

Обозначим стороны параллелограмма как \(a\) и \(b\), и угол между ними как \(\theta\).

Исходя из задачи, у нас имеется:

\(a = 6\) см,
\(b = 5\) см,
\(\theta = 120^\circ\).

Для нахождения меньшей диагонали, которая обозначается как \(d_1\), мы можем использовать формулу закона косинусов:

\[
d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta)
\]

Подставим значения в формулу:

\[
d_1^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ)
\]

Чтобы найти величину \(\cos(120^\circ)\), мы можем использовать свойство косинуса суммы:

\(\cos(120^\circ) = -\cos(60^\circ)\)

Также, мы знаем, что \(\cos(60^\circ) = 0,5\), так как это часто встречающийся угол в геометрии.

Таким образом:

\(\cos(120^\circ) = -0,5\)

Теперь, подставим значения обратно в формулу для \(d_1\):

\[
d_1^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot (-0,5)
\]

Выполняя простые вычисления, получаем:

\[
d_1^2 = 36 + 25 + 30 = 91
\]

Для того, чтобы найти значение \(d_1\), возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[
d_1 = \sqrt{91} \approx 9,54 \text{ см}
\]

Теперь, для нахождения большей диагонали, обозначаемой как \(d_2\), мы можем использовать формулу закона синусов:

\[
\frac{d_1}{\sin(\theta)} = \frac{d_2}{\sin(180^\circ - \theta)}
\]

Подставим значения:

\[
\frac{9,54}{\sin(120^\circ)} = \frac{d_2}{\sin(180^\circ - 120^\circ)}
\]

\(\sin(120^\circ) = \sin(60^\circ) = 0,866\), так как это важное значение синуса.

Также, у нас имеется:

\(\sin(180^\circ - 120^\circ) = \sin(60^\circ)\)

Теперь, решим уравнение:

\[
\frac{9,54}{0,866} = \frac{d_2}{0,866}
\]

Выполняя простые вычисления, получаем:

\[
d_2 = 9,54 \text{ см}
\]

Итак, меньшая диагональ параллелограмма равна приблизительно 9,54 см, а большая диагональ также равна приблизительно 9,54 см.