Каковы длины оснований равнобедренной трапеции, описанной вокруг окружности диаметром 6 см, если одна из боковых сторон

Nikolay

59

Данная задача относится к геометрии и требует знаний о свойствах равнобедренной трапеции и окружности. Давайте начнем с основной идеи решения задачи.

Из условия известно, что трапеция описана вокруг окружности с диаметром 6 см. Основная характеристика описанной окружности - это ее радиус. Радиус окружности равен половине диаметра, то есть \(6 \, \text{см} \div 2 = 3 \, \text{см}\).

Далее, по свойствам описанной трапеции, известно, что боковая сторона трапеции равна 10 см. Так как боковые стороны трапеции являются радиусами окружности, то один из радиусов равняется 10 см, и это основание трапеции.

Теперь мы можем найти длину второго основания. По свойству равнобедренной трапеции, основания трапеции равны. Таким образом, второе основание трапеции также равно 10 см.

Площадь трапеции можно вычислить, используя формулу:

\[S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\]

где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, а \(h\) - высота трапеции.

Мы уже выяснили, что оба основания равны 10 см. Высота трапеции может быть найдена как разность радиуса описанной окружности и радиуса вписанной окружности. Вписанная окружность - это окружность, которая касается оснований трапеции.

Радиус вписанной окружности равен половине разности диагоналей трапеции. Так как в нашей задаче трапеция равнобедренная, то она имеет симметричные диагонали.

Поэтому радиус вписанной окружности можно найти, разделив разность длин оснований на 2:

\[\text{Радиус вписанной окружности} = \frac{a - b}{2}\]

В нашем случае, основания равны 10 см, поэтому:

\[\text{Радиус вписанной окружности} = \frac{10 \, \text{см} - 10 \, \text{см}}{2} = 0 \, \text{см}\]

Таким образом, высота трапеции равна 3 см.

Теперь мы можем подставить значения в формулу площади трапеции:

\[S = \frac{(10 \, \text{см} + 10 \, \text{см}) \cdot 3 \, \text{см}}{2} = \frac{20 \, \text{см} \cdot 3 \, \text{см}}{2} = 30 \, \text{см}^2\]

Таким образом, длины обоих оснований равнобедренной трапеции равны 10 см, а ее площадь составляет 30 квадратных сантиметров.