Чему равна площадь трапеции ABCD, если основание AD равно пятикратному основанию BC, высота BH пересекает диагональ

Sarancha

46

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся пошагово.

1. Поставим обозначения для данных в задаче:
- Пусть основание BC равно \(x\).
- Так как основание AD равно пятикратному основанию BC, то AD = 5x.
- Пусть высота BH равна \(h\).
- Пусть точка пересечения высоты BH с диагональю AC будет обозначена буквой M.

2. Основываясь на поставленных обозначениях, можем сформулировать следующие взаимосвязи:
- Так как AD и BC являются основаниями трапеции, то площадь трапеции равна \(\frac{{AD + BC}}{2} \cdot h\).
- Также, так как треугольник АМН образован диагоналями трапеции и точкой пересечения высоты, его площадь равна \(\frac{1}{2} \cdot AM \cdot h\).
- Дано, что площадь треугольника АМН составляет 4 кв.см., поэтому площадь треугольника равна \(4 = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h\).

3. Нам нужно найти площадь трапеции, поэтому нам нужно выразить AM через известные величины.
- Обратимся к треугольнику АМН. Из геометрии известно, что высота треугольника делит его на две равные части. Поэтому площадь треугольника АМН равна половине произведения диагонали AC и высоты BH.
- Мы знаем, что площадь треугольника АМН составляет 4 кв.см. Подставив данное значение, получаем уравнение \(4 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h\).
- Делим обе части уравнения на \(\frac{1}{2}\), получаем \(8 = AC \cdot h\).
- Также, из треугольника BCH следует, что \(\frac{x}{h} = \frac{BC}{BH}\). По условию, BC = x, подставляем это значение и находим, что \(\frac{x}{h} = 1\), откуда \(h = x\).

4. Теперь мы можем использовать найденное значение h для нахождения площади треугольника АМН.
- Мы выразили, что \(8 = AC \cdot h\). Подставляем значение h и находим, что \(8 = AC \cdot x\).
- Делим обе части уравнения на x, получаем \(\frac{8}{x} = AC\).

5. Теперь, когда у нас есть значение AC, мы можем выразить площадь трапеции, используя формулу \(\frac{{AD + BC}}{2} \cdot h\).
- Подставляем значения AD = 5x, BC = x и h = x в формулу и находим, что площадь трапеции равна
\(\frac{{5x + x}}{2} \cdot x = \frac{{6x}}{2} \cdot x = 3x^2\).

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна \(3x^2\) (единицы площади зависят от размерности x).