Каковы длины сторон AC и AB, если угол C треугольника ABC является прямым, а внешний угол угла А равен 120 ° и сумма

Ледяная_Роза_1490

63

Давайте решим эту задачу. Мы знаем, что внешний угол угла А равен 120°. Этот угол образуется внешней стороной треугольника ABC и продолжением стороны АС. По свойствам углов, сумма внутреннего угла и внешнего угла, образованных одной и той же стороной, равна 180°. Следовательно, внутренний угол А треугольника ABC будет равен 180° - 120° = 60°.

Так как угол C является прямым (равен 90°), сумма всех углов треугольника ABC должна быть равна 180°. Поскольку мы уже знаем угол А (60°) и угол C (90°), мы можем найти третий угол треугольника:

Угол B = 180° - угол А - угол C = 180° - 60° - 90° = 30°.

Теперь у нас есть все углы треугольника ABC. Мы можем использовать законы синусов или косинусов для нахождения длин сторон.

Предположим, что сторона AB равна b, а сторона AC равна c. Мы можем использовать закон синусов, который гласит:

\[\frac{{a}}{{\sin A}} = \frac{{b}}{{\sin B}} = \frac{{c}}{{\sin C}}\]

В нашем случае, a = BC и B = 30°, C = 90°:

\[\frac{{BC}}{{\sin 30°}} = \frac{{b}}{{\sin 60°}} = \frac{{c}}{{\sin 90°}}\]

Согласно таблице значений синусов, \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\), \(\sin 90° = 1\):

\[\frac{{BC}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{b}}{{\frac{\sqrt{3}}{2}}} = \frac{{c}}{{1}}\]

Упрощая выражение, мы получим:

\[2BC = b\sqrt{3} = c\]

Но мы также знаем, что сумма длин сторон AC и AB равна некоторому значению. Обозначим это значение как d. Тогда у нас есть:

AC + AB = d

Нам нужно найти значения длин сторон AC и AB. Мы видим, что уравнение содержит неизвестные значения b и c. Мы можем заменить b и c, используя отношение, которое мы нашли с помощью закона синусов:

AC + AB = d

\[\frac{{c}}{{2\sqrt{3}}} + 2c = d\]

Теперь мы можем решить это уравнение, чтобы найти значения длин сторон AC и AB.

Это подробное решение позволяет нам получить более полное понимание задачи и процесса решения.