Каковы длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 120 см, а площадь 675 см2?

Vesenniy_Sad

30

Для решения этой задачи нам нужно сначала составить систему уравнений на основе данных о периметре и площади прямоугольника.

Обозначим длину стороны прямоугольника как \(x\), а ширину как \(y\). Тогда периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон: \(P = 2x + 2y = 120\) см.

Также мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \(S = x \cdot y = 675\) см².

Теперь составим систему уравнений на основе данных задачи:

\[ \begin{cases} 2x + 2y = 120 \\ x \cdot y = 675 \end{cases} \]

Далее будем решать эту систему уравнений.

Перенесем второе уравнение в первое, чтобы выразить одну переменную через другую. Имеем:

\[2x + 2 \left( \frac{675}{x} \right) = 120\]

Упростим это уравнение:

\[2x + \frac{1350}{x} = 120\]

Умножим обе части уравнения на \(x\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[2x^2 + 1350 = 120x\]

Теперь приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

\[2x^2 - 120x + 1350 = 0\]

Теперь найдем корни этого уравнения, для этого воспользуемся формулой квадратного уравнения:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Где a = 2, b = -120, c = 1350

Теперь найдем значения \(x\):

\[x_{1,2} = \frac{120 \pm \sqrt{(-120)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1350}}{2 \cdot 2}\]

\[x_{1,2} = \frac{120 \pm \sqrt{14400 - 10800}}{4}\]

\[x_{1,2} = \frac{120 \pm \sqrt{3600}}{4}\]

\[x_{1,2} = \frac{120 \pm 60}{4}\]

Таким образом, получаем два возможных значения \(x\): \(x_1 = 45\) и \(x_2 = 15\).

Подставим каждое значение \(x\) обратно в уравнение \(2x + \frac{1350}{x} = 120\), чтобы найти соответствующие значения \(y\).

Если \(x = 45\):

\[2 \cdot 45 + \frac{1350}{45} = 120 \Rightarrow 90 + 30 = 120\]

Проверка проведена успешно.

Итак, стороны прямоугольника равны 45 см и 30 см.