Каковы длины сторон прямоугольника, если его периметр равен 42 см, а площадь - 104

Vinni

25

Хорошо, рассмотрим данную задачу. Мы знаем, что периметр прямоугольника равен 42 см, а площадь равна 104 квадратным см. Пусть длина одной из сторон прямоугольника будет \(x\) см, а длина другой стороны будет \(y\) см.

Периметр прямоугольника находится как сумма длин всех его сторон. Таким образом, у нас есть уравнение:

\[2x + 2y = 42\]

Теперь рассмотрим площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника вычисляется путем умножения его длины на ширину. В нашем случае, у нас есть уравнение:

\[x \cdot y = 104\]

Мы получили систему из двух уравнений, которую мы можем решить для нахождения значений \(x\) и \(y\).

Давайте решим систему пошагово. Разрешим первое уравнение относительно переменной \(y\):

\[y = \frac{42 - 2x}{2}\]

Подставим это значение во второе уравнение:

\[x \cdot \left(\frac{42 - 2x}{2}\right) = 104\]

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной \(x\). Раскроем скобку и упростим уравнение:

\[21x - x^2 = 104\]

Получившееся уравнение является квадратным уравнением. Приведем его к стандартной форме \(ax^2 + bx + c = 0\):

\[x^2 - 21x + 104 = 0\]

Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена или факторизации:

\[x_1 = 8, \quad x_2 = 13\]

Теперь, когда у нас есть два значения \(x\), мы можем найти соответствующие значения \(y\), подставив их в первое уравнение:

Для \(x = 8\):
\[y = \frac{42 - 2 \cdot 8}{2} = 13\]

Для \(x = 13\):
\[y = \frac{42 - 2 \cdot 13}{2} = 8\]

Таким образом, мы получили две пары длин сторон прямоугольника: 8 см и 13 см, или 13 см и 8 см.

Итак, длины сторон прямоугольника равны 8 см и 13 см, или 13 см и 8 см.