Каковы должны быть размеры сторон прямоугольного участка, огражденного забором с периметром 60, для максимальной
Каковы должны быть размеры сторон прямоугольного участка, огражденного забором с периметром 60, для максимальной площади этого участка?
Ser_362 3
Чтобы найти размеры сторон прямоугольного участка с максимальной площадью при заданном периметре, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Давайте обозначим длину одной из сторон участка как \(x\), а длину другой стороны как \(y\). Тогда периметр будет равен \(2x + 2y\), и у нас есть уравнение:\[2x + 2y = 60\]
Теперь, чтобы найти максимальную площадь, мы должны выразить площадь прямоугольника через переменные \(x\) и \(y\). Площадь прямоугольника определяется уравнением:
\[Площадь = x \cdot y\]
Теперь, обратимся к уравнению периметра, и выразим одну переменную через другую для подстановки в уравнение площади. Выразим \(y\) через \(x\):
\[2x + 2y = 60 \Rightarrow 2y = 60 - 2x \Rightarrow y = 30 - x\]
Теперь, подставим это значение \(y\) в выражение для площади:
\[Площадь = x \cdot (30 - x)\]
Мы получили уравнение, которое описывает площадь участка в зависимости от длины одной из его сторон. Для нахождения максимальной площади, нам необходимо найти максимум этого уравнения. Для этого, возьмем производную от уравнения площади по \(x\), и приравняем ее к нулю:
\[\frac{dПлощадь}{dx} = 0\]
Дифференцируем уравнение площади:
\[\frac{d}{dx}(x \cdot (30 - x)) = 0\]
Используем правило дифференцирования произведения функций:
\[(30 - x) - x = 0\]
Упрощаем:
\[30 - 2x = 0\]
Теперь решим это уравнение относительно \(x\):
\[30 = 2x \Rightarrow x = 15\]
Таким образом, длина одной из сторон прямоугольника равна 15. Чтобы найти длину другой стороны, подставим это значение \(x\) в уравнение периметра:
\[2x + 2y = 60\]
\[2 \cdot 15 + 2y = 60\]
\[30 + 2y = 60\]
\[2y = 30\]
\[y = 15\]
Итак, длины сторон прямоугольного участка, который огорожен забором с периметром 60 и имеет максимальную площадь, равны 15 и 15.