Каковы должны быть размеры сторон прямоугольного участка, огражденного забором с периметром 60, для максимальной

Ser_362

3

Чтобы найти размеры сторон прямоугольного участка с максимальной площадью при заданном периметре, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Давайте обозначим длину одной из сторон участка как $x$, а длину другой стороны как $y$. Тогда периметр будет равен $2x+2y$, и у нас есть уравнение:

$$2x+2y=60$$

Теперь, чтобы найти максимальную площадь, мы должны выразить площадь прямоугольника через переменные $x$ и $y$. Площадь прямоугольника определяется уравнением:

$$Площадь=x\cdot y$$

Теперь, обратимся к уравнению периметра, и выразим одну переменную через другую для подстановки в уравнение площади. Выразим $y$ через $x$:

$$2x+2y=60\Rightarrow 2y=60-2x\Rightarrow y=30-x$$

Теперь, подставим это значение $y$ в выражение для площади:

$$Площадь=x\cdot (30-x)$$

Мы получили уравнение, которое описывает площадь участка в зависимости от длины одной из его сторон. Для нахождения максимальной площади, нам необходимо найти максимум этого уравнения. Для этого, возьмем производную от уравнения площади по $x$, и приравняем ее к нулю:

$$\frac{dПлощадь}{dx}=0$$

Дифференцируем уравнение площади:

$$\frac{d}{dx}(x\cdot (30-x))=0$$

Используем правило дифференцирования произведения функций:

$$(30-x)-x=0$$

Упрощаем:

$$30-2x=0$$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$$30=2x\Rightarrow x=15$$

Таким образом, длина одной из сторон прямоугольника равна 15. Чтобы найти длину другой стороны, подставим это значение $x$ в уравнение периметра:

$$2x+2y=60$$

$$2\cdot 15+2y=60$$

$$30+2y=60$$

$$2y=30$$

$$y=15$$

Итак, длины сторон прямоугольного участка, который огорожен забором с периметром 60 и имеет максимальную площадь, равны 15 и 15.