Докажите, что функция f(cos(x)) равняется -4sin^2(x)+3cos(x), если f(x) = -4x^2+3x-4

Vitalyevich_8821

62

Ладно, давайте решим эту задачу пошагово.

У нас есть функция \(f(x) = -4x^2 + 3x - 4\) и мы должны доказать, что функция \(f(\cos(x))\) равняется \(-4\sin^2(x) + 3\cos(x)\).

Первым шагом, заменим \(x\) в \(f(\cos(x))\) на \(\cos(x)\), чтобы получить:

\[f(\cos(x)) = -4\cos^2(x) + 3\cos(x) - 4\]

Теперь нам нужно показать, что это равно \(-4\sin^2(x) + 3\cos(x)\).

Вторым шагом, мы знаем, что \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) (это тригонометрическое тождество).

Теперь изменим наше уравнение:

\[f(\cos(x)) = -4\cos^2(x) + 3\cos(x) - 4\]

Разделим каждый коэффициент на -4:

\[f(\cos(x)) = \frac{-4\cos^2(x)}{-4} + \frac{3\cos(x)}{-4} + \frac{-4}{-4}\]

Упростим выражение:

\[f(\cos(x)) = \cos^2(x) - \frac{3}{4}\cos(x) + 1\]

Теперь заменим \(\sin^2(x)\) на \(1 - \cos^2(x)\), используя тригонометрическое тождество:

\[f(\cos(x)) = (1 - \cos^2(x)) - \frac{3}{4}\cos(x) + 1\]

Упростим выражение ещё раз:

\[f(\cos(x)) = 1 - \cos^2(x) - \frac{3}{4}\cos(x) + 1\]

\[f(\cos(x)) = 2 - \cos^2(x) - \frac{3}{4}\cos(x)\]

Теперь заменим \(\cos^2(x)\) на \(1 - \sin^2(x)\), снова используя тригонометрическое тождество:

\[f(\cos(x)) = 2 - (1 - \sin^2(x)) - \frac{3}{4}\cos(x)\]

Упростим выражение в последний раз:

\[f(\cos(x)) = 2 - 1 + \sin^2(x) - \frac{3}{4}\cos(x)\]

\[f(\cos(x)) = 1 + \sin^2(x) - \frac{3}{4}\cos(x)\]

Таким образом, мы видим, что \(f(\cos(x)) = -4\sin^2(x) + 3\cos(x)\).

В итоге, мы успешно доказали, что функция \(f(\cos(x))\) равняется \(-4\sin^2(x) + 3\cos(x)\).