Каковы индуктивное и ёмкостное сопротивления в электрической цепи с активным сопротивлением 50 Ом, индуктивностью 3,98

Angelina_3337

39

Для того чтобы решить данную задачу, нам понадобится использовать понятия индуктивного и ёмкостного сопротивлений вместе с активным сопротивлением. Давайте пошагово рассмотрим каждый аспект задачи.

1. Индуктивное сопротивление:
Индуктивное сопротивление \(X_L\) в электрической цепи определяется индуктивностью \(L\) и частотой сигнала \(f\) следующим образом:
\[X_L = 2 \pi f L\]
Где \(\pi\) - это число пи (приближенное значение 3.14), \(f\) - частота сигнала в герцах, а \(L\) - индуктивность в генри.

В нашем случае, дано значение индуктивности \(L = 3.98 \cdot 10^{-3}\) Гн и частота сигнала \(f = 200 \cdot 10^{3}\) Гц. Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:
\[X_L = 2 \cdot 3.14 \cdot 200 \cdot 10^{3} \cdot 3.98 \cdot 10^{-3} = 5.01 \Omega\]

Таким образом, индуктивное сопротивление в данной цепи составляет 5.01 Ом.

2. Ёмкостное сопротивление:
Ёмкостное сопротивление \(X_C\) в электрической цепи определяется емкостью \(C\) и частотой сигнала \(f\) следующим образом:
\[X_C = \frac{1}{2 \pi f C}\]
Где \(\pi\) - это число пи (приближенное значение 3.14), \(f\) - частота сигнала в герцах, а \(C\) - ёмкость в фарадах.

В нашем случае, дано значение ёмкости \(C = 159.2 \cdot 10^{-12}\) Ф и частота сигнала \(f = 200 \cdot 10^{3}\) Гц. Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:
\[X_C = \frac{1}{2 \cdot 3.14 \cdot 200 \cdot 10^{3} \cdot 159.2 \cdot 10^{-12}} = 1.99 \cdot 10^{6} \Omega\]

Таким образом, ёмкостное сопротивление в данной цепи составляет \(1.99 \cdot 10^{6}\) Ом.

3. Активное сопротивление:
Дано значение активного сопротивления \(R = 50\) Ом.

4. Сила тока в цепи:
Сила тока \(I\) в цепи может быть вычислена с использованием закона Ома:
\[I = \frac{U}{Z}\]
Где \(U\) - напряжение генератора, \(Z\) - суммарное сопротивление цепи.

В данной задаче, нам дано напряжение генератора \(U = 25\) В. Чтобы найти суммарное сопротивление цепи, мы складываем активное, индуктивное и ёмкостное сопротивления:
\[Z = R + j(X_L - X_C)\]
Где \(j\) - мнимая единица (комплексная величина).

Подставляя значения, мы получаем:
\[Z = 50 + j(5.01 - 1.99 \cdot 10^{6})\]
\[Z = 50 + j(-1.99 \cdot 10^{6})\]

Теперь, можем рассчитать силу тока:
\[I = \frac{25}{50 + j(-1.99 \cdot 10^{6})}\]

Для удобства, мы можем представить сопротивление в форме комплексного числа:
\[Z = R + jX = |Z| \cdot e^{j \theta}\]

Где \(|Z|\) - амплитуда вектора сопротивления, а \(\theta\) - фазовый угол между вектором сопротивления и осью \(R\).

Теперь мы можем перейти к построению векторной диаграммы цепи.

5. Построение векторной диаграммы:
Для построения векторной диаграммы цепи, мы представим активное, индуктивное и ёмкостное сопротивления в виде комплексных чисел на комплексной плоскости.

По оси \(R\) отложим активное сопротивление \(R = 50\) Ом. По оси \(X\) отложим разность индуктивного и ёмкостного сопротивлений \(X_L - X_C = 5.01 - 1.99 \cdot 10^{6}\) Ом.

Находим модуль вектора сопротивления:
\[|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\]
Подставляя значения, мы получаем:
\[|Z| = \sqrt{50^2 + (5.01 - 1.99 \cdot 10^{6})^2} \approx 1.99 \cdot 10^{6}\] Ом.

Также можно найти фазовый угол \(\theta\) между вектором сопротивления и осью \(R\) с помощью следующей формулы:
\[\theta = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)\]
Подставляя значения, мы получаем:
\[\theta = \arctan\left(\frac{5.01 - 1.99 \cdot 10^{6}}{50}\right) \approx -89.6^\circ\]

Теперь мы можем построить векторную диаграмму цепи. На комплексной плоскости по оси \(R\) откладываем величину активного сопротивления \(50\) Ом, а по оси \(X\) откладываем величину индуктивного и ёмкостного сопротивлений \((5.01 - 1.99 \cdot 10^{6})\) Ом. Через начало координат проводим вектор сопротивления длиной \(1.99 \cdot 10^{6}\) Ом со сдвигом на фазовый угол \(-89.6^\circ\).

Это представляет собой векторную диаграмму цепи. На диаграмме можно отметить силу тока \(I\), которую мы нашли ранее.

Итак, в данной задаче индуктивное сопротивление в цепи составляет \(5.01\) Ом, ёмкостное сопротивление - \(1.99 \cdot 10^{6}\) Ом. Сила тока \(I\) будет зависеть от значения сопротивления и напряжения генератора, а векторная диаграмма цепи позволяет наглядно представить зависимости величин в цепи.