Каковы координаты точки К, где прямая, заданная уравнением x-1/2 = y-2/3 = z-3/4, пересекается с плоскостью, заданной

Заблудший_Астронавт

22

Чтобы найти координаты точки K, где прямая пересекается с плоскостью, нам нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения плоскости.

Уравнение прямой дано в векторном виде, где \((x_0, y_0, z_0)\) - это точка, через которую проходит прямая, а \((a, b, c)\) - это направляющий вектор прямой. В нашем случае у нас есть следующее уравнение прямой:

\[x - \frac{1}{2} = y - \frac{2}{3} = z - \frac{3}{4}\]

Мы можем записать это в параметрической форме прямой:

\[x = \frac{1}{2} + at\]
\[y = \frac{2}{3} + bt\]
\[z = \frac{3}{4} + ct\]

где \(t\) - параметр.

Уравнение плоскости дано в общем виде:

\[2x + 5y - 3z + d = 0\]

Здесь \(d\) - это свободный член плоскости.

Чтобы найти точку пересечения, мы можем подставить параметрическое уравнение прямой в уравнение плоскости:

\[2\left(\frac{1}{2} + at\right) + 5\left(\frac{2}{3} + bt\right) - 3\left(\frac{3}{4} + ct\right) + d = 0\]

Упростим уравнение и сгруппируем все слагаемые, содержащие \(t\):

\[\left(2a + \frac{5}{3}b - \frac{3}{2}c\right)t + \left(\frac{1}{2} + \frac{10}{3} + \frac{9}{4} + d\right) = 0\]

Так как это должно выполняться для любого значения \(t\), то коэффициенты при \(t\) и свободные члены должны быть равными нулю:

\[2a + \frac{5}{3}b - \frac{3}{2}c = 0\]
\[\frac{1}{2} + \frac{10}{3} + \frac{9}{4} + d = 0\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений относительно неизвестных \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\).

Решение этой системы позволит нам найти координаты точки К, где прямая пересекается с плоскостью. Я сейчас вычислю значения \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) для вас и найду точку пересечения. Дайте мне некоторое время, пожалуйста.