Каковы координаты точки пересечения диагоналей ромба АВСК? Какова длина диагоналей, если координаты вершин ромба

Zmey

5

Для решения данной задачи нам потребуется найти уравнения прямых, на которых лежат диагонали ромба АВСК, а затем найти точку их пересечения.

1. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки А(3; 2) и С(3; 7):
- Сначала найдем угловой коэффициент прямой. Для этого воспользуемся формулой: \(k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\), где \(x_1, y_1\) и \(x_2, y_2\) - координаты двух точек, через которые проходит прямая.
- Подставим значения координат в формулу: \(k = \frac{{7 - 2}}{{3 - 3}} = \frac{5}{0}\)
- Заметим, что угловой коэффициент получился бесконечным, что означает, что прямая вертикальна и ее уравнение имеет вид \(x = 3\).

2. Найдем уравнение прямой, проходящей через точки В(1; 4) и К(7; y):
- Опять же, найдем угловой коэффициент прямой: \(k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\), где \(x_1, y_1\) и \(x_2, y_2\) - координаты двух точек, через которые проходит прямая.
- Подставим значения координат в формулу: \(k = \frac{{y - 4}}{{7 - 1}} = \frac{{y - 4}}{6}\)
- Получили уравнение: \(y - 4 = \frac{1}{6}(x - 1)\).

3. Теперь найдем точку пересечения прямых, подставив уравнение прямой (2) в уравнение прямой (1):
- Подставим \(x = 3\) из уравнения прямой (1) в уравнение прямой (2): \(y - 4 = \frac{1}{6}(3 - 1)\)
- Упростим уравнение: \(y - 4 = \frac{1}{6} \cdot 2\)
- Решим уравнение: \(y - 4 = \frac{1}{3}\)
- Прибавим 4 к обеим частям уравнения: \(y = \frac{1}{3} + 4\)
- Получили \(y = \frac{1}{3} + \frac{12}{3} = \frac{13}{3}\).

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей ромба АВСК равны (3; 13/3).

Чтобы найти длину диагоналей ромба, воспользуемся расстоянием между точками.

1. Диагональ АС:
- Зная координаты А(3; 2) и С(3; 7), можем применить формулу для расстояния между точками: \(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)
- Подставим значения координат в формулу: \(d = \sqrt{{(3 - 3)^2 + (7 - 2)^2}}\)
- Упростим выражение: \(d = \sqrt{{0 + 25}} = \sqrt{25} = 5\)
- Таким образом, длина диагонали АС равна 5.

2. Диагональ ВК:
- Зная координаты В(1; 4) и К(7; 13/3), можем применить формулу для расстояния между точками: \(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\)
- Подставим значения координат в формулу: \(d = \sqrt{{(7 - 1)^2 + \left(\frac{13}{3} - 4\right)^2}}\)
- Упростим выражение: \(d = \sqrt{{6^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2}} = \sqrt{{36 + \frac{1}{9}}} = \sqrt{{\frac{324 + 1}{9}}} = \sqrt{{\frac{325}{9}}}\)
- Таким образом, длина диагонали ВК равна \(\frac{{\sqrt{325}}}{3}\).

Таким образом, длина диагоналей ромба АВСК составляет 5 и \(\frac{{\sqrt{325}}}{3}\) (приближенное значение).