Докажите, что четвертые стороны двух выпуклых четырехугольников также равны, если уже известно, что три стороны

Водопад

60

Чтобы доказать, что четвертые стороны двух выпуклых четырехугольников также равны, будем использовать свойства сходных треугольников и теорему косинусов.

Допустим, у нас есть два выпуклых четырехугольника: ABCD и EFGH. Мы знаем, что стороны AB и EF равны, стороны BC и FG равны, стороны CD и GH равны. Также известно, что углы BAC и EFG равны, а углы BCA и FGE также равны.

Мы хотим доказать, что стороны AD и EH также равны.

Давайте рассмотрим сходные треугольники ABC и EFG. У них есть три соответствующие стороны, которые равны: AB и EF, BC и FG, а также AC и EG. Так как ABC и EFG сходные, мы можем сказать, что их углы также равны.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ABC:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle BAC)\]

Аналогичным образом, применим теорему косинусов к треугольнику EFG с заменой сторон и углов:

\[EG^2 = EF^2 + FG^2 - 2 \cdot EF \cdot FG \cdot \cos(\angle EFG)\]

Если мы сравним эти два уравнения, мы увидим следующее:

\[AC^2 = EG^2\]

Возведем оба выражения в квадрат:

\[(AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle BAC))^2 = (EF^2 + FG^2 - 2 \cdot EF \cdot FG \cdot \cos(\angle EFG))^2\]

Распишем это уравнение:

\[AB^4 + BC^4 + (2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle BAC))^2 + 2 \cdot AB^2 \cdot BC^2 \cdot (1 - 2 \cdot \cos(\angle BAC)) =\]
\[= EF^4 + FG^4 + (2 \cdot EF \cdot FG \cdot \cos(\angle EFG))^2 + 2 \cdot EF^2 \cdot FG^2 \cdot (1 - 2 \cdot \cos(\angle EFG))\]

Упростим выражение:

\[AB^4 + BC^4 + 2 \cdot AB^2 \cdot BC^2 - 4 \cdot AB^3 \cdot BC \cdot \cos(\angle BAC) =\]
\[= EF^4 + FG^4 + 2 \cdot EF^2 \cdot FG^2 - 4 \cdot EF^3 \cdot FG \cdot \cos(\angle EFG)\]

Теперь применим свойство равенства трех элементов в уравнении:

\[AB^4 + BC^4 + 2 \cdot AB^2 \cdot BC^2 = EF^4 + FG^4 + 2 \cdot EF^2 \cdot FG^2\]

Сократим выражение:

\[AB^4 + BC^4 = EF^4 + FG^4\]

Таким образом, мы доказали, что четвертые стороны двух выпуклых четырехугольников также равны, если уже известно, что три стороны и два угла между этими сторонами соответственно равны.

Надеюсь, это решение понятно для школьника! Если возникнут вопросы, я готов объяснить дополнительно.