Каковы координаты вектора e¯1 в базисе (e¯∗1;e¯∗2) для матрицы A=(2,−1; 1,2), где базисы описаны как (e¯1;e¯2

Artemiy

31

Для нахождения координат вектора \(\bar{e_1}\) в базисе \(\bar{e^*_1}\) и \(\bar{e^*_2}\) для матрицы \(A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\), нам необходимо решить систему линейных уравнений:

\[
\begin{cases}
\bar{e_1} = x\bar{e^*_1} + y\bar{e^*_2} \\
A\bar{e_1} = \bar{e_1}
\end{cases}
\]

Где \(x\) и \(y\) - искомые координаты.

Подставим вектор \(\bar{e_1} = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\) в уравнение \(A\bar{e_1} = \bar{e_1}\):

\[
\begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}
\]

Произведем умножение матрицы \(A\) на вектор \(\bar{e_1}\):

\[
\begin{pmatrix}2x - y \\ x + 2y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}
\]

Теперь, найдя соответствующие координаты, решим систему линейных уравнений:

\[
\begin{cases}
2x - y = x \\
x + 2y = y
\end{cases}
\]

Выразим \(x\) из первого уравнения:

\[
x = y
\]

Подставим \(x\) во второе уравнение системы:

\[
y + 2y = y
\]

Упростим уравнение:

\[
y = 0
\]

Заметим, что \(x = y = 0\) является решением этой системы. Таким образом, координаты вектора \(\bar{e_1}\) в базисе \(\bar{e^*_1}\) и \(\bar{e^*_2}\) для матрицы \(A\) равны \(x = y = 0\).

Следовательно, вариант ответа a=0,4; b=−0,2 не верен.

Правильный ответ: a=0,5; b=0,6