Каковы координаты вершины вершины графика функции f(x) = x2-6x+4, если известно, что вершина находится на точке

Alla

11

Хорошо, давайте решим задачу поэтапно.

1) Найдем координаты вершины графика функции \(f(x) = x^2 - 6x + 4\), если известно, что вершина находится в точке \((-3, 13)\).

Формула, позволяющая найти координаты вершины параболы, заданной в виде \(f(x) = ax^2 + bx + c\), имеет следующий вид:
\[x_v = -\frac{b}{2a}\]
\[y_v = f(x_v)\]

В нашем случае коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 4\). Подставим их в формулы вершины:
\[x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\]
\[y_v = f(3) = (3)^2 - 6 \cdot 3 + 4 = 9 - 18 + 4 = -5\]

Таким образом, координаты вершины графика функции \(f(x) = x^2 - 6x + 4\) равны \((3, -5)\).

2) Теперь создадим график функции с использованием найденных координат вершины и других значений.

\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\ \hline
0 & 4 \\
1 & -1 \\
2 & 0 \\
3 & -5 \\
4 & 4 \\
\end{array}
\]

3) Найдем корни функции, то есть значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\). Для этого решим уравнение \(x^2 - 6x + 4 = 0\).

Используя квадратное уравнение, получаем:
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставляя коэффициенты \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 4\) в формулу, получим:
\[x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}\]
\[x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16}}{2}\]
\[x = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}\]
\[x = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2}\]
\[x = 3 \pm \sqrt{5}\]

Таким образом, корни функции \(f(x) = x^2 - 6x + 4\) равны \(x_1 = 3 + \sqrt{5}\) и \(x_2 = 3 - \sqrt{5}\).

4) Найдем интервалы, на которых \(f(x) < 0\) и \(f(x) > 0\), используя график функции.

Из графика видно, что функция \(f(x)\) положительна на интервалах \((- \infty, 3 - \sqrt{5})\) и \((3 + \sqrt{5}, +\infty)\), и отрицательна на интервале \((3 - \sqrt{5}, 3 + \sqrt{5})\).

5) Теперь найдем интервалы возрастания и убывания функции. Для этого проанализируем знак производной функции.

Вычислим производную функции \(f"(x)\) и найдем ее корни:
\[f"(x) = 2x - 6\]
\[2x - 6 = 0\]
\[2x = 6\]
\[x = 3\]

Таким образом, производная функции равна нулю при \(x = 3\). Изменение знака производной указывает на изменение возрастания/убывания функции.

На интервале \((-\infty, 3)\) функция \(f(x)\) убывает, а на интервале \((3, +\infty)\) функция \(f(x)\) возрастает.

6) Найдем наибольшее значение функции \(f(x)\). Для этого подставим найденные координаты вершины \((3, -5)\).

Таким образом, наибольшее значение функции \(f(x)\) равно -5.

Надеюсь, каждый шаг решения задачи был подробным и обстоятельным. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, спрашивайте!