Каковы максимальное и минимальное значения функции 3х^5-20х^3+9 на промежутке (-10;-1)?

Murlyka

33

Хорошо, чтобы найти максимальное и минимальное значения функции \(3x^5 - 20x^3 + 9\) на промежутке \((-10; -1)\), мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем критические точки, где производная функции равна нулю or не существует. Найдем производную функции, чтобы найти такие точки.

Найдем производную функции \(f(x) = 3x^5 - 20x^3 + 9\):
\[f"(x) = 15x^4 - 60x^2.\]

2. Решим уравнение \(f"(x) = 0\) для нахождения точек, в которых производная равна нулю. Такие точки называются критическими точками:

\[15x^4 - 60x^2 = 0.\]

Мы можем вынести общий множитель, чтобы упростить это уравнение:

\[15x^2(x^2 - 4) = 0.\]

Теперь у нас есть два уравнения, которые могут дать нам критические точки:

\[15x^2 = 0 \quad \text{и} \quad x^2 - 4 = 0.\]

Решим первое уравнение:

\[15x^2 = 0\]
\[x^2 = 0\]
\[x = 0.\]

И решим второе уравнение:

\[x^2 - 4 = 0\]
\[(x - 2)(x + 2) = 0\]
\[x - 2 = 0 \quad \text{или} \quad x + 2 = 0\]
\[x = 2 \quad \text{или} \quad x = -2.\]

3. Проверим, существуют ли найденные критические точки в интервале \((-10; -1)\). Точка \(x = 0\) лежит вне этого интервала, поэтому мы ее не рассматриваем. Точки \(x = -2\) и \(x = 2\) лежат внутри интервала и являются критическими точками.

4. Осталось найти значения функции при \(x = -2\) и \(x = 2\), а также на границах интервала \((-10; -1)\), чтобы найти максимальное и минимальное значения функции.

Вычислим значения функции при \(x = -2\), \(x = 2\), и \(x = -10\) и \(x = -1\):

\[f(-2) = 3(-2)^5 - 20(-2)^3 + 9 = -153.\]

\[f(2) = 3(2)^5 - 20(2)^3 + 9 = 67.\]

\[f(-10) = 3(-10)^5 - 20(-10)^3 + 9 = -29991.\]

\[f(-1) = 3(-1)^5 - 20(-1)^3 + 9 = 12.\]

Теперь мы можем сравнить значения функции и определить максимальное и минимальное значение на интервале \((-10; -1)\):

Минимальное значение функции: -29991.

Максимальное значение функции: 67.

Таким образом, на промежутке \((-10; -1)\) минимальное значение функции равно -29991, а максимальное значение равно 67.