Каковы максимальный Rmax и минимальный Rmin радиусы кривизны траектории камня, выпущенного под углом alpha

Okean

18

Чтобы определить максимальный и минимальный радиусы кривизны траектории камня, нам понадобится использовать законы баллистики и некоторые основные принципы физики.

По условию задачи, камень выпущен под углом \(\alpha = 30°\) к горизонту и падает на землю на расстоянии \(S = 20\) м от точки старта.

Максимальный радиус кривизны траектории будет соответствовать точке на траектории, где камень находится на самой высокой точке своего полёта. Это происходит в момент времени, когда вертикальная составляющая скорости равна нулю. Давайте найдём высоту максимальной точки и используем её, чтобы определить максимальный радиус кривизны.

Высота максимальной точки полёта камня может быть определена с использованием формулы для вертикальной составляющей скорости:

\[v_{y,max} = v_{y,0} \cdot \sin(\alpha)\]

где \(v_{y,0}\) - начальная вертикальная скорость камня, \(\alpha\) - угол броска.

В момент времени, когда вертикальная составляющая скорости становится равной нулю (\(v_{y,max} = 0\)), мы можем найти время полёта камня до этой точки:

\[t_{max} = \frac{{2 \cdot v_{y,0} \cdot \sin(\alpha)}}{g}\]

где \(g\) - ускорение свободного падения (\(9.8 \, \text{м/с}^2\)).

Теперь нам нужно найти расстояние, пройденное по горизонтали камнем за время полёта до максимальной точки. Для этого мы используем горизонтальную составляющую начальной скорости камня:

\[v_{x,0} = v_0 \cdot \cos(\alpha)\]

где \(v_0\) - начальная скорость камня.

\[S_{max} = v_{x,0} \cdot t_{max}\]

Таким образом, мы нашли максимальный радиус кривизны:

\[R_{max} = \frac{{S_{max}^2}}{2 \cdot h_{max}}\]

где \(h_{max}\) - высота максимальной точки.

Аналогично можно найти минимальный радиус кривизны траектории. Он будет соответствовать моменту, когда камень достигает земли. Для этого мы будем использовать время полёта камня до земли:

\[t_{fall} = \frac{{2 \cdot v_{y,0} \cdot \sin(\alpha)}}{g}\]

Теперь мы можем найти расстояние, пройденное по горизонтали камнем за время полёта до земли:

\[S_{fall} = v_{x,0} \cdot t_{fall}\]

И наконец, найдём минимальный радиус кривизны:

\[R_{min} = \frac{{S_{fall}^2}}{2 \cdot h_{fall}}\]

где \(h_{fall}\) - высота точки, на которой камень падает на землю.

Таким образом, мы можем использовать указанные формулы для определения максимального и минимального радиусов кривизны траектории камня, выпущенного под углом \(\alpha = 30°\) к горизонту и падающего на землю на расстоянии \(S = 20\) м от точки старта. Вычислим значения \(\sin(30°)\) и \(\cos(30°)\):

\[\sin(30°) = 0.5\]
\[\cos(30°) = 0.866\]

Теперь мы можем подставить значения в формулы и вычислить результаты.

Применение формулы для максимального радиуса кривизны:

\[v_{y,0} = v_0 \cdot \sin(\alpha) = 0\]
\[t_{max} = \frac{{2 \cdot v_{y,0} \cdot \sin(\alpha)}}{g} = 0\]
\[v_{x,0} = v_0 \cdot \cos(\alpha) = 0\]
\[S_{max} = v_{x,0} \cdot t_{max} = 0\]
\[h_{max} = \frac{{v_{y,0}^2}}{{2 \cdot g}} = 0\]
\[R_{max} = \frac{{S_{max}^2}}{{2 \cdot h_{max}}} = 0\]

Получаем, что максимальный радиус кривизны траектории такого камня равен нулю.

Теперь применим формулу для минимального радиуса кривизны:

\[v_{y,0} = v_0 \cdot \sin(\alpha) = \frac{{v_0}}{2}\]
\[t_{fall} = \frac{{2 \cdot v_{y,0} \cdot \sin(\alpha)}}{g} = \frac{{v_0}}{g}\]
\[v_{x,0} = v_0 \cdot \cos(\alpha) = v_0 \cdot 0.866\]
\[S_{fall} = v_{x,0} \cdot t_{fall} = v_0 \cdot 0.866 \cdot \frac{{v_0}}{g}\]
\[h_{fall} = \frac{{v_{y,0}^2}}{{2 \cdot g}} = \frac{{(v_0/2)^2}}{{2 \cdot g}}\]
\[R_{min} = \frac{{S_{fall}^2}}{{2 \cdot h_{fall}}} = \frac{{(v_0 \cdot 0.866 \cdot \frac{{v_0}}{g})^2}}{{2 \cdot \frac{{(v_0/2)^2}}{{2 \cdot g}}}} = \frac{{\frac{{v_0^2 \cdot g^2 \cdot 0.866^2}}{{g^2}}}}{{2 \cdot g}} = \frac{{v_0^2 \cdot 0.866^2}}{{4 \cdot g}}\]

Получаем, что минимальный радиус кривизны траектории камня равен \(\frac{{v_0^2 \cdot 0.866^2}}{{4 \cdot g}}\). Однако, в данной задаче начальная скорость \(v_0\) неизвестна, поэтому мы не можем точно определить значения максимального и минимального радиусов кривизны траектории без дополнительной информации. Однако, мы можем выразить эти радиусы через \(v_0\) и привести в общем виде:

\[R_{max} = 0\]
\[R_{min} = \frac{{v_0^2 \cdot 0.866^2}}{{4 \cdot g}}\]

Таким образом, максимальный радиус кривизны траектории камня равен нулю, а минимальный радиус кривизны равен \(\frac{{v_0^2 \cdot 0.866^2}}{{4 \cdot g}}\), где \(v_0\) - начальная скорость камня, \(g\) - ускорение свободного падения. Окончательные значения зависят от начальной скорости \(v_0\), которая не указана в условии задачи.