Каковы модуль и главное значение аргумента следующих комплексных чисел: 1) z=3; 2) z=-3; 3) z=3i; 4) z=-3i; 5) z=-2-2i

Lelya

23

Конечно, я помогу вам с этой задачей по модулю и главному значению аргумента комплексных чисел. Давайте рассмотрим каждое число по очереди:

1) Для числа \( z = 3 \) его модуль равен \(\left| 3 \right| = 3\), так как число 3 находится на вещественной оси и отстоит от начала координат на 3 единицы. Главное значение аргумента (или аргумент в принятой области значений) для данного числа равно \( \text{Arg}(3) = 0 \), так как это положительное вещественное число.

2) Для числа \( z = -3 \) его модуль также равен \(\left| -3 \right| = 3\), потому что число -3 также находится на вещественной оси и отстоит от начала координат на 3 единицы. Главное значение аргумента для этого числа равно \( \text{Arg}(-3) = \pi \), потому что это отрицательное вещественное число.

3) Для числа \( z = 3i \) его модуль равен \(\left| 3i \right| = 3\), так как число 3i расположено на мнимой оси и отстоит от начала координат на 3 единицы. Главное значение аргумента для данного числа равно \( \text{Arg}(3i) = \frac{\pi}{2} \), так как это положительное мнимое число.

4) Для числа \( z = -3i \) его модуль также равен \(\left| -3i \right| = 3\), так как число -3i также расположено на мнимой оси и отстоит от начала координат на 3 единицы. Главное значение аргумента для этого числа равно \( \text{Arg}(-3i) = -\frac{\pi}{2} \), так как это отрицательное мнимое число.

5) Для числа \( z = -2 - 2i \) мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти его модуль. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами длиной 2 и 2 равна \( \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} \). Следовательно, модуль числа равен \(\left| -2 - 2i \right| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Чтобы найти главное значение аргумента, нам нужно найти угол между числом и положительным направлением на вещественной оси. Мы можем использовать функцию арктангенса, чтобы это сделать. Таким образом, главное значение аргумента для данного числа равно \( \text{Arg}(-2 - 2i) = \arctan\left(\frac{-2}{-2}\right) = \frac{\pi}{4} \).

6) Для числа \( z = 1 + i\sqrt{3} \) его модуль равен \(\left| 1 + i\sqrt{3} \right| = \sqrt{1^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\). Главное значение аргумента для этого числа равно \( \text{Arg}(1 + i\sqrt{3}) = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3} \).

7) Для числа \( z = 1 - i\sqrt{3} \) его модуль также равен \(\left| 1 - i\sqrt{3} \right| = \sqrt{1^2 + \left(-\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2\). Главное значение аргумента для этого числа равно \( \text{Arg}(1 - i\sqrt{3}) = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3} \).

8) Для числа \( z = -\sqrt{3} + i \) его модуль равен \(\left| -\sqrt{3} + i \right| = \sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\). Главное значение аргумента для этого числа равно \( \text{Arg}(-\sqrt{3} + i) = \arctan\left(\frac{1}{-\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6} \).

Таким образом, мы нашли модуль и главное значение аргумента для каждого из данных комплексных чисел. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!