Каковы объем и площадь полной поверхности цилиндра, если его радиус равен 3см, а длина образующей - 5см? Найдите

Иван

33

Для решения этих задач будем использовать соответствующие формулы и свойства геометрических фигур.

Задача 1: Для нахождения объема и площади полной поверхности цилиндра с радиусом \(r\) и длиной образующей \(l\) мы используем следующие формулы:

Объем цилиндра \(V = \pi r^2 h\), где \(h\) - высота цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра \(A = 2 \pi r h + 2 \pi r^2\).

В данной задаче радиус цилиндра равен 3 см, а длина образующей равна 5 см. Для вычисления объема цилиндра подставим эти значения в формулу \(V = \pi r^2 h\):

\(V = \pi \cdot 3^2 \cdot 5 = 45 \pi \, \text{см}^3\).

Для вычисления площади полной поверхности цилиндра будем использовать формулу \(A = 2 \pi r h + 2 \pi r^2\):

\(A = 2 \pi \cdot 3 \cdot 5 + 2 \pi \cdot 3^2 = 30 \pi + 18 \pi = 48 \pi \, \text{см}^2\).

Таким образом, объем цилиндра равен \(45 \pi \, \text{см}^3\), а площадь полной поверхности равна \(48 \pi \, \text{см}^2\).

Задача 2: Для нахождения площади осевого сечения, площади полной поверхности и объема конуса с радиусом \(r\) и образующей \(l\) используем следующие формулы:

Площадь осевого сечения конуса \(A_{\text{сеч}} = \frac{1}{2} \cdot \pi r^2\).
Площадь полной поверхности конуса \(A = \pi r l + \pi r^2\).
Объем конуса \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 h\), где \(h\) - высота конуса.

Для вычисления площади осевого сечения конуса подставим значение радиуса \(r = 4\) см в формулу \(A_{\text{сеч}} = \frac{1}{2} \cdot \pi r^2\):

\(A_{\text{сеч}} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 4^2 = 8 \pi \, \text{см}^2\).

Для вычисления площади полной поверхности конуса подставим значения радиуса \(r = 4\) см и образующей \(l = 5\) см в формулу \(A = \pi r l + \pi r^2\):

\(A = \pi \cdot 4 \cdot 5 + \pi \cdot 4^2 = 20 \pi + 16 \pi = 36 \pi \, \text{см}^2\).

Для вычисления объема конуса подставим значения радиуса \(r = 4\) см и высоты \(h\) (которую нам необходимо найти) в формулу \(V = \frac{1}{3} \cdot \pi r^2 h\). Обратим внимание, что высота конуса неизвестна:

\(V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 4^2 \cdot h = \frac{16}{3} \pi h \, \text{см}^3\).

Задача 3: Для нахождения объема сферы с радиусом \(r\) и площади поверхности \(A\) мы будем использовать следующие формулы:

Объем сферы \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\).
Площадь поверхности сферы \(A = 4 \pi r^2\).

В данной задаче известно, что площадь сферы равна \(4 \pi\). Найдем объем сферы, подставив значение радиуса \(r = 6\) см в формулу \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\):

\(V = \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3} \pi \cdot 216 = 288 \pi \, \text{см}^3\).

Таким образом, объем сферы равен \(288 \pi \, \text{см}^3\).

Чтобы найти расстояние от центра шара до плоскости сечения, нам необходимо вычислить разность между радиусом шара и радиусом сечения. В данной задаче радиус шара равен 6 см, а радиус сечения равен \(3 \sqrt{3}\) см. Поэтому расстояние от центра шара до плоскости сечения будет:

\(6 - 3 \sqrt{3}\) см.

Задача 4: Для нахождения объема цилиндра по площади осевого сечения и площади полной поверхности мы будем использовать следующие формулы:

Площадь осевого сечения цилиндра \(A_{\text{сеч}}\).
Площадь полной поверхности цилиндра \(A\).
Объем цилиндра \(V\).

В данной задаче известно, что площадь осевого сечения цилиндра равна 30 см², а площадь полной поверхности равна \(48 \pi\) см². Найдем объем цилиндра.

Площадь осевого сечения цилиндра \(A_{\text{сеч}} = 30\) см².

Мы не знаем значение радиуса цилиндра, поэтому не можем вычислить его объем непосредственно.