Каков результат двойного интеграла int int x^{2}y ,dx ,dy по прямоугольнику с ограничениями 3 le x le 6 и 0 le y

Ясли_6530

24

Хорошо! Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Дано значение двойного интеграла:

\[
\int \int x^{2}y\,dx\,dy
\]

по прямоугольнику с ограничениями \(3 \le x \le 6\) и \(0 \le y \le 2\).

Для начала, давайте выполним первый шаг интегрирования по переменной \(x\). Мы будем интегрировать по переменной \(x\) от 3 до 6, предполагая, что \(y\) остается постоянным:

\[
\int_{3}^{6} x^{2}y\, dx
\]

Чтобы проинтегрировать \(x^{2}\) по переменной \(x\), мы используем формулу для степенной функции:

\[
\int x^{n}\, dx = \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} + C
\]

Где \(n\) - степень, и \(C\) - постоянная интегрирования.

Применяя эту формулу, мы получаем:

\[
\int_{3}^{6} x^{2}y\, dx = \left[ \frac{{x^{3}}}{{3}}y \right]_{3}^{6}
\]

Теперь мы можем вычислить значения границ:

\[
\left[ \frac{{6^{3}}}{{3}}y \right] - \left[ \frac{{3^{3}}}{{3}}y \right] = \left( \frac{{216y}}{{3}} \right) - \left( \frac{{27y}}{{3}} \right) = 72y - 9y = 63y
\]

Таким образом, получаем однократный интеграл:

\[
\int 63y \, dy
\]

Теперь интегрируем по переменной \(y\). Мы интегрируем функцию \(63y\) по переменной \(y\) от 0 до 2:

\[
\int_{0}^{2} 63y \, dy
\]

Для интегрирования функции \(63y\) мы используем формулу:

\[
\int y \, dy = \frac{{y^{2}}}{{2}} + C
\]

Где \(C\) - постоянная интегрирования.

Применяя эту формулу, мы получаем:

\[
\left[ \frac{{63y^{2}}}{{2}} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{{63 \cdot 2^{2}}}{{2}} \right) - \left( \frac{{63 \cdot 0^{2}}}{{2}} \right) = \left( \frac{{63 \cdot 4}}{{2}} \right) - \left( \frac{{63 \cdot 0}}{{2}} \right) = 63 \cdot 2 = 126
\]

Таким образом, результат двойного интеграла \(\int \int x^{2}y\,dx\,dy\) по прямоугольнику с ограничениями \(3 \le x \le 6\) и \(0 \le y \le 2\) равен 126.

Поэтому правильный вариант ответа: b. 126.