Каковы объемы правильной шестиугольной пирамиды и вписанного в нее конуса, если боковое ребро равно 2 и образует

Alekseevich

39

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о формулах объема пирамиды и конуса. Давайте начнем с определения пирамиды и конуса.

Пирамида - это геометрическое тело, у которого есть основание и треугольные грани, сходящиеся в одной вершине. Объем правильной пирамиды можно найти с помощью следующей формулы:

\[V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h,\]

где \(S_{основания}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Конус - это геометрическое тело, у которого есть круглое основание и линии, сходящиеся в одной вершине. Объем конуса можно найти с помощью следующей формулы:

\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h,\]

где \(S_{основания}\) - площадь основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Теперь, чтобы решить задачу, нам нужно найти площадь основания пирамиды и конуса, а также высоту обоих тел.

У нас есть шестиугольная пирамида, у которой боковое ребро равно 2 и образует с плоскостью основания угол 60°. Поскольку у нас нет других данных о пирамиде, предположим, что это правильная шестиугольная пирамида. Правильная пирамида имеет равные стороны и равные углы основания.

Чтобы найти площадь основания пирамиды, нам понадобится формула для площади правильного шестиугольника:

\[S_{основания} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot a^2,\]

где \(a\) - длина стороны шестиугольника.

Так как у нас правильная шестиугольная пирамида, длина стороны шестиугольника равна боковому ребру, которое для нас равно 2.

Подставим значения в формулу:

\[S_{основания} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot 2^2 = 3 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 = 6\sqrt{3}.\]

Теперь чтобы найти высоту пирамиды, нам понадобится применить теорему Пифагора к боковой грани пирамиды. По условию, боковое ребро равно 2, а оно образует с плоскостью основания угол 60°. Значит, высота пирамиды будет равна \(\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}\).

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, можем подставить значения площади основания и высоты пирамиды в формулу:

\[V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6.\]

Похожим образом решаем задачу для вписанного конуса. Поскольку пирамида и конус имеют одну и ту же высоту, то высота конуса также равна \(\sqrt{3}\), а площадь основания конуса будет равна площади основания пирамиды, то есть \(S_{основания} = 6\sqrt{3}\).

Теперь можем найти объем конуса, подставив значения площади основания и высоты в формулу для объема конуса:

\[V_{конуса} = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6.\]

Итак, объем правильной шестиугольной пирамиды и вписанного в нее конуса равны 6.