Каковы параметры начальной и конечной точек процесса расширения воздуха по политропе с показателем n=1,2 от p1=6

Дракон_1543

43

Конечная точка процесса расширения воздуха по политропе с показателем \(n=1,2\) от \(p_1=6\) бар и \(t_1=320^\circ\)C до \(p_2=1\) бар является неизвестной, поэтому мы сначала найдем конечную температуру и объем воздуха.

Для начала, используем соотношение политропного процесса:

\[\frac{{p_1 \cdot v_1^n}}{{T_1}} = \frac{{p_2 \cdot v_2^n}}{{T_2}}\]

Так как \(n=1,2\), мы можем переписать это соотношение следующим образом:

\[p_1 \cdot v_1^{1.2} \cdot T_2 = p_2 \cdot v_2^{1.2} \cdot T_1\]

Мы знаем значения \(p_1\), \(t_1\), \(p_2\) и хотим найти \(t_2\) и \(v_2\). Для того чтобы решить этот задачу, давайте использовать уравнение состояния идеального газа:

\[p_1 \cdot v_1 = R \cdot n \cdot t_1\]

где \(R\) - универсальная газовая постоянная (для воздуха \(R = 287 \frac{{\text{Дж}}}{{\text{кг} \cdot \text{К}}}}\).

Мы можем переписать это уравнение следующим образом для состояния 1:

\[v_1 = \frac{{R \cdot t_1}}{{p_1}}\]

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение политропы:

\[p_1 \cdot \left(\frac{{R \cdot t_1}}{{p_1}}\right)^{1.2} \cdot T_2 = p_2 \cdot v_2^{1.2} \cdot T_1\]

Чтобы найти \(v_2\), мы можем воспользоваться уравнением состояния идеального газа для состояния 2:

\[v_2 = \frac{{R \cdot t_2}}{{p_2}}\]

Подставим это выражение в наше уравнение:

\[p_1 \cdot \left(\frac{{R \cdot t_1}}{{p_1}}\right)^{1.2} \cdot T_2 = p_2 \cdot \left(\frac{{R \cdot t_2}}{{p_2}}\right)^{1.2} \cdot T_1\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(T_2\) и \(t_2\)) и мы можем решить их одновременно:

\[p_1 \cdot \left(\frac{{R \cdot t_1}}{{p_1}}\right)^{1.2} \cdot T_2 = p_2 \cdot \left(\frac{{R \cdot t_2}}{{p_2}}\right)^{1.2} \cdot T_1\]

Разделим обе части на \(p_1 \cdot \left(\frac{{R \cdot t_1}}{{p_1}}\right)^{1.2}\):

\[T_2 = \frac{{p_2}}{{p_1}} \cdot \left(\frac{{t_2}}{{t_1}}\right)^{1.2} \cdot T_1\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(T_2\):

\[T_2 = \frac{{1 \, \text{бар}}}{{6 \, \text{бар}}} \cdot \left(\frac{{t_2}}{{320^\circ \text{C}}}\right)^{1.2} \cdot 320^\circ \text{C}\]

Далее, чтобы найти \(v_2\), мы подставляем \(T_2\) в выражение для \(v_2\):

\[v_2 = \frac{{R \cdot t_2}}{{p_2}}\]

\[v_2 = \frac{{287 \, \text{Дж/(кг} \cdot \text{К)}} \cdot t_2}}{{1 \, \text{бар}}}\]

Теперь получим значения \(T_2\) и \(v_2\) и перейдем к следующим вопросам.

Теплоту, затраченную на процесс, можно найти при помощи уравнения:

\[Q = C_p \cdot m \cdot (T_2 - T_1)\]

где \(C_p\) - теплоемкость воздуха при постоянном давлении (\(C_p \approx 1.005 \, \text{кДж/(кг} \cdot \text{К)}\)), \(m\) - масса воздуха (1 кг), \(T_2\) и \(T_1\) - конечная и начальная температуры соответственно. Подставим значения и решим:

\[Q = 1.005 \, \text{кДж/(кг} \cdot \text{К)} \cdot 1 \, \text{кг} \cdot (T_2 - 320^\circ \text{C})\]

Осталось рассчитать работу, выполненную при изменении объема 1 кг воздуха. Работа определяется следующим выражением:

\[W = \int_{v_1}^{v_2} p \, dv\]

Учитывая, что \(p \cdot v^n = \text{const}\) в политропном процессе, мы можем записать это выражение как:

\[W = -\frac{1}{n-1} \cdot p \cdot (v_2 - v_1)\]

Подставим значения и рассчитаем:

\[W = -\frac{1}{1.2-1} \cdot p_2 \cdot (v_2 - v_1)\]

Вот, мы нашли значения \(T_2\), \(v_2\), теплоту \(Q\) и работу \(W\) для данного процесса расширения воздуха по политропе с показателем \(n=1.2\) от \(p_1=6\) бар и \(t_1=320^\circ\)C до \(p_2=1\) бар. Теперь давайте перейдем к построению диаграмм.

На диаграмме p,v процесс будет представлен как кривая, у которой уравнение имеет вид \(p \cdot v^{1.2} = \text{const}\). Начальная точка этой кривой будет соответствовать начальному состоянию воздуха (6 бар, \(t_1=320^\circ\)C), а конечная точка - конечному состоянию (1 бар, \(T_2\)). Также на этой диаграмме можно отобразить линию постоянной температуры \(T_1\), соединяющую начальную точку с изохорным процессом.

На диаграмме T,s процесс будет представлен как кривая, у которой уравнение имеет вид \(T \cdot s^{1.2} = \text{const}\). Аналогично диаграмме p,v, начальная точка этой кривой будет соответствовать начальному состоянию воздуха (6 бар, \(t_1=320^\circ\)C), а конечная точка - конечному состоянию (1 бар, \(T_2\)). Также на этой диаграмме можно отобразить изоэнтропический процесс, соединяющий начальную точку со стартовым состоянием.

Надеюсь, этот ответ полностью разъясняет каждую часть задания и поможет понять процесс расширения воздуха по политропе, а также вычислить требуемые параметры и построить диаграммы.