Каковы периоды колебаний маятников, если их длины равны соответственно 10 см и 20 см? Какое отношение их энергий?

Максимовна_7682

13

Хорошо, давайте разберем задачу поэтапно.

Период колебания маятника зависит только от его длины и ускорения свободного падения. Формула для периода колебаний маятника имеет вид:

\[T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\]

где \(T\) - период колебаний маятника, \(L\) - длина маятника, \(g\) - ускорение свободного падения и примерно равно 9.8 м/c².

Для первого маятника с длиной 10 см подставляем значения в формулу:

\[T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{0.1 м}{9.8 м/c²}}\]

Находим значение периода колебаний первого маятника:

\[T_1 = 2\pi\sqrt{0.0102 с}\]

\[T_1 \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot 0.101 с\]

\[T_1 \approx 0.638 с\]

Аналогично, для второго маятника с длиной 20 см:

\[T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{0.2 м}{9.8 м/c²}}\]

Находим значение периода колебаний второго маятника:

\[T_2 = 2\pi\sqrt{0.0204 с}\]

\[T_2 \approx 2 \cdot 3.1416 \cdot 0.14 с\]

\[T_2 \approx 0.898 с\]

Теперь перейдем ко второй части задачи и найдем отношение энергий маятников.

Энергия маятника связана с его потенциальной и кинетической энергией. Потенциальная энергия маятника равна энергии положения, а кинетическая энергия - энергии движения. Сумма этих энергий остается постоянной во время колебаний маятника.

Формула для потенциальной энергии маятника:

\[E_{\text{пот}} = mgh\]

где \(E_{\text{пот}}\) - потенциальная энергия маятника, \(m\) - масса маятника, \(g\) - ускорение свободного падения и \(h\) - высота подъема маятника.

Формула для кинетической энергии маятника:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2}mv^2\]

где \(E_{\text{кин}}\) - кинетическая энергия маятника и \(v\) - скорость маятника.

Поскольку массы маятников одинаковы, то отношение их энергий равно отношению их потенциальных энергий или отношению их кинетических энергий.

Для первого и второго маятника:

\[E_{\text{пот}_1} = mgh_1\]
\[E_{\text{кин}_1} = \frac{1}{2}mv_1^2\]

\[E_{\text{пот}_2} = mgh_2\]
\[E_{\text{кин}_2} = \frac{1}{2}mv_2^2\]

Поскольку длины маятников разные, то высоты подъема будут отличаться. Раз высота подъема равна длине маятника (L), а массы маятников одинаковы, то отношение их энергий будет зависеть только от отношения длин маятников.

\[E_{\text{пот}_1}:E_{\text{пот}_2} = L_1:L_2 = 10см:20см = \frac{1}{2}\]

Аналогично, отношение их кинетических энергий:

\[E_{\text{кин}_1}:E_{\text{кин}_2} = L_1:L_2 = 10см:20см = \frac{1}{2}\]

Таким образом, отношение энергий маятников равно \(\frac{1}{2}\), причем это отношение верно и для потенциальной, и для кинетической энергий.