Каковы первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если разность между вторым и четвертым членами составляет

Щавель

47

Давайте начнем с определения геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии (q).

Теперь, нам нужно найти первый член (a) и знаменатель прогрессии (q) по информации, которая дана в задаче.

У нас есть две разности: разность между вторым и четвертым членами, которая составляет -96, и разность между третьим и пятым членами, которая равна -288.

Для нахождения первого члена (a) и знаменателя прогрессии (q) воспользуемся следующими шагами:

1. Используя формулу разности соседних членов в геометрической прогрессии, записанной как \( a_{n+1} - a_n = q^n \), подставим известные разности и получим два уравнения:
\( a_3 - a_2 = q \)
\( a_4 - a_3 = q \)

2. Поскольку у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (первый член и знаменатель), мы можем решить систему уравнений методом подстановки или методом равных коэффициентов.

Воспользуемся методом равных коэффициентов. Разделим второе уравнение на первое уравнение, чтобы избавиться от q:
\( \frac{{a_4 - a_3}}{{a_3 - a_2}} = \frac{q}{q^2} \)

Упростив, получим:
\( \frac{{a_4 - a_3}}{{a_3 - a_2}} = \frac{1}{q} \)

3. Подставим известные значения разностей второй и третьей разностей:
\( \frac{{-96}}{{a_3 - a_2}} = \frac{1}{q} \)
\( \frac{{-288}}{{a_4 - a_3}} = \frac{1}{q} \)

4. Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить. Поделим первое уравнение на -96 и второе уравнение на -288 для упрощения:
\( \frac{1}{{a_3 - a_2}} = \frac{1}{-96q} \)
\( \frac{1}{{a_4 - a_3}} = \frac{1}{-288q} \)

5. Обратите внимание, что оба знаменателя совпадают. Получаем:
\( -96q = -288q \)

6. Разделим обе части уравнения на -96, получим:
\( q = \frac{1}{3} \)

7. Теперь, используя найденное значение знаменателя, подставим его в одно из уравнений, чтобы найти первый член (a).

Возьмем первое уравнение:
\( \frac{1}{{a_3 - a_2}} = \frac{1}{-96q} \)

Подставим значение q:
\( \frac{1}{{a_3 - a_2}} = \frac{1}{-96 \cdot \frac{1}{3}} \)

Упростим:
\( \frac{1}{{a_3 - a_2}} = \frac{1}{-32} \)

Инвертируем обе части уравнения:
\( a_3 - a_2 = -32 \)

Поскольку у нас нет информации о конкретных значениях членов, мы не можем найти a_3 и a_2 независимо друг от друга.

Тем не менее, теперь у нас есть значение знаменателя (q), которое равно \(\frac{1}{3}\).