Каковы площадь боковой поверхности, полная поверхность и объем конуса, если его осевым сечением является равносторонний

Busya

56

Будем решать задачу шаг за шагом.

1. Начнем с площади боковой поверхности конуса. Боковая поверхность конуса представляет собой поверхность, которая образуется образует его образующая, когда она обернута вокруг оси конуса. Для вычисления площади боковой поверхности нам понадобится высота конуса и его образующая.

2. Давайте обозначим сторону равностороннего треугольника, являющегося осевым сечением конуса, как $a$. Так как равносторонний треугольник имеет все стороны равными, то периметр равностороннего треугольника будет равен $3a$.

3. Пусть $h$ - это высота конуса. Тогда воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения образующей конуса:
$$a^2=h^2+r^2$$
где $r$ - радиус основания конуса. Радиус основания можно найти, разделив периметр равностороннего треугольника на $3$ (так как треугольник равносторонний):
$$r=\frac{a}{3}$$
Подставим значение $r$ в уравнение для нахождения образующей:
$$a^2=h^2+{\left(\frac{a}{3}\right)}^2$$

4. Для нахождения высоты $h$ решим полученное уравнение относительно $h$:
$$9a^2=9h^2+a^2$$
$$8a^2=9h^2$$
$$h=\frac{a\sqrt{8}}{3}$$

5. Теперь, когда у нас есть высота конуса $h$ и радиус основания конуса $r$, мы можем найти площадь боковой поверхности конуса. Формула для площади боковой поверхности конуса:
$$S_{\text{бок}}=\pi \cdot r\cdot l$$
где $l$ - это образующая конуса. Для нахождения $l$ используем теорему Пифагора:
$$l=\sqrt{r^2+h^2}$$

6. Подставим значения $r$ и $l$ в формулу для площади боковой поверхности:
$$S_{\text{бок}}=\pi \cdot \frac{a}{3}\cdot \sqrt{{\left(\frac{a}{3}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{8}}{3}\right)}^2}$$

7. Теперь давайте найдем полную поверхность конуса. Для этого нам нужно найти площадь основания конуса. Основание является равносторонним треугольником, поэтому его площадь мы можем найти по формуле для площади равностороннего треугольника:
$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$$

8. Теперь, когда мы знаем площадь основания и площадь боковой поверхности конуса, мы можем найти полную поверхность конуса:
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}$$

9. Наконец, для нахождения объема конуса воспользуемся формулой для объема:
$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h$$

Итак, чтобы найти площадь боковой поверхности, полную поверхность и объем конуса с осевым сечением равносторонний треугольник со стороной $a$, мы должны использовать следующие формулы:

$$h=\frac{a\sqrt{8}}{3}$$
$$S_{\text{бок}}=\pi \cdot \frac{a}{3}\cdot \sqrt{{\left(\frac{a}{3}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{8}}{3}\right)}^2}$$
$$S_{\text{осн}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$$
$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}$$
$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h$$

Надеюсь, это поможет вам понять, как найти площадь боковой поверхности, полную поверхность и объем конуса с осевым сечением равносторонний треугольник со стороной $a$. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!