Каковы площади правильного треугольника и правильного шестиугольника, если радиус вписанной окружности треугольника

Dozhd

21

Пусть радиус вписанной окружности равен \(r\). Чтобы найти площадь правильного треугольника, нам необходимо знать длину его стороны. Для этого воспользуемся свойствами правильного треугольника.

Правильный треугольник имеет все стороны равными, поэтому длина каждой стороны равна \(2r\). Таким образом, длина стороны правильного треугольника равна \(2r\).

Площадь правильного треугольника можно найти, используя формулу площади треугольника \(S = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot a^2\), где \(a\) - длина стороны треугольника.

Подставляя значение \(a = 2r\) в формулу, получим:
\[S = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot (2r)^2\]

Упрощая выражение, получим:
\[S = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \cdot 4r^2\]
\[S = \sqrt{3} \cdot r^2\]

Таким образом, площадь правильного треугольника равна \(\sqrt{3} \cdot r^2\).
Пошаговое решение:
1. Задан радиус вписанной окружности треугольника \(r\).
2. Длина стороны треугольника равна \(2r\).
3. Используя формулу площади треугольника, вычисляем площадь:
\[S = \sqrt{3} \cdot r^2\].

Теперь давайте найдем площадь правильного шестиугольника с радиусом вписанной окружности \(r\).

По свойствам правильного шестиугольника, сторона шестиугольника равна \(2r\).

Площадь правильного шестиугольника можно найти, используя формулу \(S = \frac{{3\sqrt{3}}}{{2}} \cdot a^2\), где \(a\) - длина стороны шестиугольника.

Подставляя значение \(a = 2r\) в формулу, получаем:
\[S = \frac{{3\sqrt{3}}}{{2}} \cdot (2r)^2\]

Упрощая выражение, получим:
\[S = \frac{{3\sqrt{3}}}{{2}} \cdot 4r^2\]
\[S = 6\sqrt{3} \cdot r^2\]

Таким образом, площадь правильного шестиугольника равна \(6\sqrt{3} \cdot r^2\).
Пошаговое решение:
1. Задан радиус вписанной окружности шестиугольника \(r\).
2. Длина стороны шестиугольника равна \(2r\).
3. Используя формулу площади шестиугольника, вычисляем площадь:
\[S = 6\sqrt{3} \cdot r^2\].