1) Ищите точки максимума и минимума функции y=x^3-3x^2. 2) Каковы значения экстремумов функции y=x^4-8x^2+3?

Магический_Единорог

49

Задача 1. Для поиска точек максимума и минимума функции \(y = x^3 - 3x^2\), мы должны найти значения x, в которых производная функции равна 0.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = x^3 - 3x^2\).
Производная функции \(y = x^3 - 3x^2\) равна:
\[y" = 3x^2 - 6x\]

Шаг 2: Решим уравнение \(y" = 0\) для нахождения значений x.
\[3x^2 - 6x = 0\]
\[3x(x - 2) = 0\]
Отсюда получаем два возможных значения x: x = 0 и x = 2.

Шаг 3: Определим, являются ли эти значения точками максимума или минимума, путем анализа поведения функции в окрестности каждой точки.

- Для x = 0:
Подставим x = 0 в исходную функцию:
\[y = (0)^3 - 3(0)^2 = 0\]
Таким образом, точка (0, 0) является точкой минимума.

- Для x = 2:
Подставим x = 2 в исходную функцию:
\[y = (2)^3 - 3(2)^2 = 2\]
Таким образом, точка (2, 2) является точкой максимума.

Ответ: Точка минимума функции \(y = x^3 - 3x^2\) находится в точке (0, 0), а точка максимума находится в точке (2, 2).

Задача 2. Чтобы найти значения экстремумов функции \(y = x^4 - 8x^2 + 3\), мы должны найти значения x, в которых производная функции равна 0.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = x^4 - 8x^2 + 3\).
Производная функции \(y = x^4 - 8x^2 + 3\) равна:
\[y" = 4x^3 - 16x\]

Шаг 2: Решим уравнение \(y" = 0\) для нахождения значений x.
\[4x^3 - 16x = 0\]
\[4x(x^2 - 4) = 0\]
Отсюда получаем три возможных значения x: x = 0, x = -2 и x = 2.

Шаг 3: Определим, являются ли эти значения точками максимума или минимума, путем анализа поведения функции в окрестности каждой точки.

- Для x = 0:
Подставим x = 0 в исходную функцию:
\[y = (0)^4 - 8(0)^2 + 3 = 3\]
Таким образом, точка (0, 3) является точкой минимума.

- Для x = -2:
Подставим x = -2 в исходную функцию:
\[y = (-2)^4 - 8(-2)^2 + 3 = 27\]
Таким образом, точка (-2, 27) является точкой максимума.

- Для x = 2:
Подставим x = 2 в исходную функцию:
\[y = (2)^4 - 8(2)^2 + 3 = -5\]
Таким образом, точка (2, -5) является точкой минимума.

Ответ: Точки минимума функции \(y = x^4 - 8x^2 + 3\) находятся в точках (0, 3) и (2, -5), а точка максимума находится в точке (-2, 27).

Задача 3. Чтобы найти местоположение экстремумов функции \(y = x + \sin(x)\), мы должны найти значения x, в которых производная функции равна 0.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = x + \sin(x)\).
Производная функции \(y = x + \sin(x)\) равна:
\[y" = 1 + \cos(x)\]

Шаг 2: Решим уравнение \(y" = 0\) для нахождения значений x.
\[1 + \cos(x) = 0\]
\[\cos(x) = -1\]
Отсюда получаем одно возможное значение x: x = \(\pi\).

Шаг 3: Определим, является ли это значение точкой максимума или минимума, путем анализа поведения функции в окрестности этой точки.

- Для x = \(\pi\):
Подставим x = \(\pi\) в исходную функцию:
\[y = \pi + \sin(\pi) = \pi\]
Таким образом, точка (\(\pi\), \(\pi\)) является точкой максимума.

Ответ: Точка максимума функции \(y = x + \sin(x)\) находится в точке (\(\pi\), \(\pi\)).

Задача 4. Чтобы найти местоположение точек экстремума функции \(y = 6\sin(x) - \cos(2x)\), мы должны найти значения x, в которых производная функции равна 0.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = 6\sin(x) - \cos(2x)\).
Производная функции \(y = 6\sin(x) - \cos(2x)\) равна:
\[y" = 6\cos(x) + 2\sin(2x)\]

Шаг 2: Решим уравнение \(y" = 0\) для нахождения значений x.
\[6\cos(x) + 2\sin(2x) = 0\]
(мы не будем искать аналитическое решение, так как это специфическое уравнение требует численных методов)

Шаг 3: Определим местоположение точек экстремума путем анализа поведения функции в окрестности этих точек.

Ответ: Чтобы определить местоположение точек экстремума функции \(y = 6\sin(x) - \cos(2x)\), требуется решение численного уравнения \(6\cos(x) + 2\sin(2x) = 0\). Уточнение местоположения требует использования численных методов.